Страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-x^2 + 4x - 2} = x - 2;$

2) $\sqrt{12 - 9x - 2x^2} = 3x - 2;$

3) $\sqrt{3x^2 - 5x + 6} = x - 3;$

4) $\sqrt{x + 2} = x - 1.$

1) $\sqrt{-x^2 + 4x - 2} = x - 2$

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ -x^2 + 4x - 2 = (x-2)^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы, чтобы найти область допустимых значений:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Теперь решим второе уравнение системы. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$-x^2 + 4x - 2 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 2$, следовательно, это является решением уравнения.

Ответ: $3$

2) $\sqrt{12 - 9x - 2x^2} = 3x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 12 - 9x - 2x^2 = (3x - 2)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$

Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$12 - 9x - 2x^2 = 9x^2 - 12x + 4$

$11x^2 - 3x - 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-8) = 9 + 352 = 361 = 19^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 19}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 19}{2 \cdot 11} = \frac{-16}{22} = -\frac{8}{11}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge \frac{2}{3}$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > \frac{2}{3}$.

Корень $x_2 = -\frac{8}{11}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{8}{11} < \frac{2}{3}$. Это посторонний корень.

Ответ: $1$

3) $\sqrt{3x^2 - 5x + 6} = x - 3$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3x^2 - 5x + 6 = (x - 3)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем условие:

$x \ge 3$

Решим второе уравнение:

$3x^2 - 5x + 6 = x^2 - 6x + 9$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 < 3$.

Корень $x_2 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{3}{2} < 3$.

Так как ни один из найденных корней не удовлетворяет условию, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней

4) $\sqrt{x + 2} = x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 2 = (x - 1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Решим уравнение:

$x + 2 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$.

Оценим значение $\sqrt{13}$. Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{13} < 4$.

Для корня $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: $x_1 > \frac{3 + 3}{2} = 3$. Так как $3 > 1$, этот корень является решением.

Для корня $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: $x_2 < \frac{3 - 3}{2} = 0$. Так как $0 < 1$, этот корень является посторонним.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

132. Решите уравнение:

1) $2\sqrt{x-3} - \sqrt{x+2} = 1;$

2) $\sqrt{x+8} - \sqrt{x-4} = 2;$

3) $\sqrt{x+8} + \sqrt{5-x} = 5;$

4) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 4.$

1) $2\sqrt{x-3} - \sqrt{x+2} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge -2 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:
$2\sqrt{x-3} = 1 + \sqrt{x+2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{x-3})^2 = (1 + \sqrt{x+2})^2$
$4(x-3) = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+2} + (\sqrt{x+2})^2$
$4x - 12 = 1 + 2\sqrt{x+2} + x + 2$
$4x - 12 = x + 3 + 2\sqrt{x+2}$
Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$3x - 15 = 2\sqrt{x+2}$
Прежде чем снова возводить в квадрат, заметим, что правая часть $2\sqrt{x+2}$ неотрицательна, следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной:
$3x - 15 \ge 0 \implies 3x \ge 15 \implies x \ge 5$.
Это условие является более строгим, чем ОДЗ, поэтому будем учитывать его. Теперь возведем обе части в квадрат:
$(3x - 15)^2 = (2\sqrt{x+2})^2$
$9x^2 - 90x + 225 = 4(x+2)$
$9x^2 - 90x + 225 = 4x + 8$
$9x^2 - 94x + 217 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 - 7812 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{94 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{126}{18} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{94 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$
Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 5$:
$x_1 = 7$ удовлетворяет условию, так как $7 \ge 5$.
$x_2 = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9}$ не удовлетворяет условию, так как $3\frac{4}{9} < 5$.
Выполним проверку для $x=7$ в исходном уравнении:
$2\sqrt{7-3} - \sqrt{7+2} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
$1 = 1$. Корень найден верно.
Ответ: 7

2) $\sqrt{x+8} - \sqrt{x-4} = 2$

ОДЗ: $\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{x+8} = 2 + \sqrt{x-4}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+8})^2 = (2 + \sqrt{x-4})^2$
$x+8 = 4 + 4\sqrt{x-4} + (x-4)$
$x+8 = x + 4\sqrt{x-4}$
$8 = 4\sqrt{x-4}$
$2 = \sqrt{x-4}$
Снова возведем в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{x-4})^2$
$4 = x-4$
$x = 8$
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 4$).
Проверка: $\sqrt{8+8} - \sqrt{8-4} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.
$2 = 2$. Верно.
Ответ: 8

3) $\sqrt{x+8} + \sqrt{5-x} = 5$

ОДЗ: $\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x \le 5 \end{cases} \implies -8 \le x \le 5$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{x+8} = 5 - \sqrt{5-x}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+8})^2 = (5 - \sqrt{5-x})^2$
$x+8 = 25 - 10\sqrt{5-x} + (5-x)$
$x+8 = 30 - x - 10\sqrt{5-x}$
Уединим оставшийся корень:
$10\sqrt{5-x} = 30 - x - x - 8$
$10\sqrt{5-x} = 22 - 2x$
$5\sqrt{5-x} = 11 - x$
Левая часть неотрицательна, значит $11-x \ge 0$, то есть $x \le 11$. Это условие не сужает ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$(5\sqrt{5-x})^2 = (11-x)^2$
$25(5-x) = 121 - 22x + x^2$
$125 - 25x = 121 - 22x + x^2$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($-8 \le x \le 5$).
Проверка для $x=1$:
$\sqrt{1+8} + \sqrt{5-1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$.
$5=5$. Верно.
Проверка для $x=-4$:
$\sqrt{-4+8} + \sqrt{5-(-4)} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.
$5=5$. Верно.
Ответ: -4; 1

4) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 4$

ОДЗ: $\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{2x+1} = 4 - \sqrt{x-3}$
Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $4 - \sqrt{x-3} \ge 0 \implies 4 \ge \sqrt{x-3} \implies 16 \ge x-3 \implies x \le 19$.
Таким образом, решение должно лежать в интервале $3 \le x \le 19$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x+1})^2 = (4 - \sqrt{x-3})^2$
$2x+1 = 16 - 8\sqrt{x-3} + (x-3)$
$2x+1 = 13 + x - 8\sqrt{x-3}$
Уединим оставшийся корень:
$8\sqrt{x-3} = 13 + x - 2x - 1$
$8\sqrt{x-3} = 12 - x$
Левая часть неотрицательна, значит $12-x \ge 0$, то есть $x \le 12$. С учетом предыдущих ограничений, решение должно лежать в интервале $3 \le x \le 12$.
Возведем обе части в квадрат:
$(8\sqrt{x-3})^2 = (12-x)^2$
$64(x-3) = 144 - 24x + x^2$
$64x - 192 = 144 - 24x + x^2$
$x^2 - 88x + 336 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-88)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 336 = 7744 - 1344 = 6400 = 80^2$
$x_1 = \frac{88 + 80}{2} = \frac{168}{2} = 84$
$x_2 = \frac{88 - 80}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Проверим корни на соответствие условию $3 \le x \le 12$:
$x_1 = 84$ не удовлетворяет условию ($84 > 12$).
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию ($3 \le 4 \le 12$).
Проверка для $x=4$:
$\sqrt{2(4)+1} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4$.
$4=4$. Верно.
Ответ: 4

133. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3} = \sqrt{x-6}$;

2) $\sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1}$;

3) $\sqrt{x-7} = \sqrt{2x-3} - \sqrt{x+4}$.

1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3} = \sqrt{x-6}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.

При $x \ge 6$ левая часть уравнения $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3}$ положительна, так как $x+2 > x-3$, а правая часть $\sqrt{x-6}$ также неотрицательна. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{x-6})^2$
$(x+2) - 2\sqrt{(x+2)(x-3)} + (x-3) = x-6$
$2x - 1 - 2\sqrt{x^2 - x - 6} = x-6$

Уединим радикал в одной части уравнения:
$2x - 1 - x + 6 = 2\sqrt{x^2 - x - 6}$
$x + 5 = 2\sqrt{x^2 - x - 6}$

Поскольку согласно ОДЗ $x \ge 6$, обе части уравнения $(x+5$ и $2\sqrt{...})$ положительны. Снова возведем обе части в квадрат:
$(x+5)^2 = (2\sqrt{x^2 - x - 6})^2$
$x^2 + 10x + 25 = 4(x^2 - x - 6)$
$x^2 + 10x + 25 = 4x^2 - 4x - 24$
$3x^2 - 14x - 49 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-49) = 196 + 588 = 784 = 28^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 28}{2 \cdot 3}$
$x_1 = \frac{14 + 28}{6} = \frac{42}{6} = 7$
$x_2 = \frac{14 - 28}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 6$).
Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 6$.
Корень $x_2 = -7/3$ не удовлетворяет условию, так как $-7/3 < 6$.
Выполним проверку для $x=7$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{7+2} - \sqrt{7-3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$ и $\sqrt{7-6} = \sqrt{1} = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Ответ: 7

2) $\sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1}$

Найдем ОДЗ:
$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 4$.

Перепишем уравнение, чтобы в каждой части были положительные слагаемые:
$\sqrt{x-4} + \sqrt{2x-1} = \sqrt{x-3}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-4} + \sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{x-3})^2$
$(x-4) + 2\sqrt{(x-4)(2x-1)} + (2x-1) = x-3$
$3x - 5 + 2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = x-3$

Уединим радикал:
$2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = (x - 3) - (3x - 5)$
$2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = -2x + 2$
$\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = 1 - x$

Левая часть уравнения по определению арифметического квадратного корня неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
Мы получили два условия для $x$: $x \ge 4$ (из ОДЗ) и $x \le 1$. Эти условия противоречат друг другу, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 4 и меньше или равно 1.
Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет корней

3) $\sqrt{x-7} = \sqrt{2x-3} - \sqrt{x+4}$

Найдем ОДЗ:
$x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$
$2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$
$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 7$.

Перенесем слагаемое, чтобы в обеих частях были суммы:
$\sqrt{x-7} + \sqrt{x+4} = \sqrt{2x-3}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-7} + \sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{2x-3})^2$
$(x-7) + 2\sqrt{(x-7)(x+4)} + (x+4) = 2x-3$
$2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 2x-3$

Упростим уравнение, вычитая $2x-3$ из обеих частей:
$2\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 0$
$\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 0$
Возведя в квадрат, получаем:
$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -28. Этим условиям удовлетворяют числа 7 и -4.
$x_1 = 7$, $x_2 = -4$.
Можно также решить через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$
$x_{1,2} = \frac{3 \pm 11}{2}$
$x_1 = \frac{3+11}{2} = 7$
$x_2 = \frac{3-11}{2} = -4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 7$).
Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 7$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 7$.
Проверка для $x=7$: $\sqrt{7-7} = 0$; $\sqrt{2(7)-3} - \sqrt{7+4} = \sqrt{14-3} - \sqrt{11} = \sqrt{11} - \sqrt{11} = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Ответ: 7

134. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x-3} > 2$;

2) $\sqrt{x-3} < 2$;

3) $\sqrt{x-3} > -2$;

4) $\sqrt{x-3} < -2$.

1) $\sqrt{x-3} > 2$

Для решения данного неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x-3}$ и 2) являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:
$(\sqrt{x-3})^2 > 2^2$
$x - 3 > 4$
$x > 4 + 3$
$x > 7$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему:
$\left\{\begin{array}{l}x > 7 \\ x \ge 3\end{array}\right.$
Общим решением системы является $x > 7$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$.

2) $\sqrt{x-3} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в первом пункте, так как подкоренное выражение то же самое:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x-3})^2 < 2^2$
$x - 3 < 4$
$x < 4 + 3$
$x < 7$

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l}x < 7 \\ x \ge 3\end{array}\right.$
Решением этой системы является интервал $3 \le x < 7$.

Ответ: $x \in [3, 7)$.

3) $\sqrt{x-3} > -2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-3}$ всегда принимает неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x-3} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Правая часть неравенства равна -2 (отрицательное число). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $\sqrt{x-3} > -2$ будет верным для всех значений $x$, при которых выражение $\sqrt{x-3}$ определено.

Таким образом, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

4) $\sqrt{x-3} < -2$

Область допустимых значений (ОДЗ) остается прежней:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$

Левая часть неравенства, $\sqrt{x-3}$, является арифметическим квадратным корнем, значение которого всегда неотрицательно ($\ge 0$). Правая часть неравенства равна -2. Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа -2, что невозможно ни при каких значениях $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

135. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$;

2) $\sqrt{3x-2} < \sqrt{2x-7}$;

3) $\sqrt{x^2-4x+3} < \sqrt{-3-9x}$;

4) $\sqrt{x^2+2x+2} \ge \sqrt{-x^2-3x}$.

1) $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой оба подкоренных выражения неотрицательны, и после возведения в квадрат сохраняется знак неравенства.

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \\ (\sqrt{x+5})^2 > (\sqrt{8-x})^2 \end{cases}$

Так как из неравенства $x+5 > 8-x$ и условия $8-x \ge 0$ автоматически следует, что $x+5 > 0$, то систему можно упростить, оставив только условие неотрицательности для меньшего подкоренного выражения:

$\begin{cases} 8-x \ge 0 \\ x+5 > 8-x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $8-x \ge 0 \implies -x \ge -8 \implies x \le 8$

2) $x+5 > 8-x \implies 2x > 3 \implies x > 1.5$

Объединяя решения, получаем: $1.5 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (1.5, 8]$.

2) $\sqrt{3x-2} < \sqrt{2x-7}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение $f(x)$ должно быть неотрицательным (из этого и второго неравенства будет следовать, что $g(x)$ также положительно) и после возведения в квадрат знак неравенства сохраняется.

$\begin{cases} 3x-2 \ge 0 \\ 3x-2 < 2x-7 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x-2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$

2) $3x-2 < 2x-7 \implies 3x-2x < -7+2 \implies x < -5$

Найдём пересечение решений $x \ge \frac{2}{3}$ и $x < -5$. Так как не существует числа, которое одновременно больше или равно $\frac{2}{3}$ и меньше $-5$, то система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) $\sqrt{x^2 - 4x + 3} < \sqrt{-3 - 9x}$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 4x + 3 < -3 - 9x \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y=x^2-4x+3$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y \ge 0$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 < -3 - 9x$.

$x^2 + 5x + 6 < 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = -2$.
Графиком функции $y=x^2+5x+6$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-3, -2)$.

Теперь найдём пересечение решений системы: $x \in ((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) \cap (-3, -2)$.

Пересечением является интервал $(-3, -2)$.

Ответ: $x \in (-3, -2)$.

4) $\sqrt{x^2 + 2x + 2} \ge \sqrt{-x^2 - 3x}$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} -x^2 - 3x \ge 0 \\ x^2 + 2x + 2 \ge -x^2 - 3x \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-x^2 - 3x \ge 0$.

Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 + 3x \le 0$.
$x(x+3) \le 0$.
Корни уравнения $x(x+3)=0$: $x_1=0$, $x_2=-3$.
Графиком функции $y=x^2+3x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y \le 0$ при $x \in [-3, 0]$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 2x + 2 \ge -x^2 - 3x$.

$2x^2 + 5x + 2 \ge 0$.
Найдём корни уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.
$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Графиком функции $y=2x^2+5x+2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y \ge 0$ при $x \in (-\infty, -2] \cup [-0.5, \infty)$.

Найдём пересечение решений системы: $x \in [-3, 0] \cap ((-\infty, -2] \cup [-0.5, \infty))$.

Пересечение отрезка $[-3, 0]$ с множеством $(-\infty, -2] \cup [-0.5, \infty)$ состоит из двух отрезков: $[-3, -2]$ и $[-0.5, 0]$.

Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [-0.5, 0]$.

136. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+18} < 2-x;$

2) $\sqrt{2x-3} < x-3;$

3) $\sqrt{2x-x^2} \le 5-x;$

4) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3.$

1) $\sqrt{x+18} < 2-x$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как левая часть (квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть строго положительной:

$\begin{cases} x+18 \ge 0, \\ 2-x > 0, \\ (\sqrt{x+18})^2 < (2-x)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $x+18 \ge 0 \implies x \ge -18$.

2. $2-x > 0 \implies x < 2$.

3. $x+18 < (2-x)^2 \implies x+18 < 4 - 4x + x^2 \implies x^2 - 5x - 14 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [-18, \infty)$, $x \in (-\infty, 2)$ и $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$.
На числовой оси это будет пересечение интервалов $[-18, 2)$ и $(-\infty, -2) \cup (7, \infty)$, что дает интервал $[-18, -2)$.

Ответ: $x \in [-18, -2)$.

2) $\sqrt{2x-3} < x-3$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x-3 \ge 0, \\ x-3 > 0, \\ (\sqrt{2x-3})^2 < (x-3)^2. \end{cases}$

Решим систему:

1. $2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

2. $x-3 > 0 \implies x > 3$.

3. $2x-3 < x^2 - 6x + 9 \implies x^2 - 8x + 12 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \ge 1.5$, $x > 3$ и $x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.
Из первых двух условий следует, что $x > 3$.
Пересекая интервал $(3, \infty)$ с множеством $(-\infty, 2) \cup (6, \infty)$, получаем $x \in (6, \infty)$.

Ответ: $x \in (6, \infty)$.

3) $\sqrt{2x-x^2} \le 5-x$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x-x^2 \ge 0, \\ 5-x \ge 0, \\ (\sqrt{2x-x^2})^2 \le (5-x)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $2x-x^2 \ge 0 \implies x(2-x) \ge 0$.
Корни уравнения $x(2-x) = 0$ равны $x=0$ и $x=2$. Ветви параболы $y = -x^2+2x$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [0, 2]$.

2. $5-x \ge 0 \implies x \le 5$.

3. $2x-x^2 \le 25 - 10x + x^2 \implies 2x^2 - 12x + 25 \ge 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 12x + 25$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 144 - 200 = -56$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, трехчлен положителен при любых действительных значениях $x$. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [0, 2]$, $x \in (-\infty, 5]$ и $x \in (-\infty, \infty)$.
Пересечением этих множеств является отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

4) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x^2-11x+9 \ge 0, \\ x-3 \ge 0, \\ (\sqrt{2x^2-11x+9})^2 \le (x-3)^2. \end{cases}$

Решим поочередно каждое неравенство:

1. $2x^2-11x+9 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2-11x+9 = 0$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{11-7}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{11+7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty)$.

2. $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

3. $2x^2-11x+9 \le x^2 - 6x + 9 \implies x^2 - 5x \le 0 \implies x(x-5) \le 0$.
Решение этого неравенства: $x \in [0, 5]$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty)$, $x \in [3, \infty)$ и $x \in [0, 5]$.
Пересечение первых двух множеств дает $[4.5, \infty)$.
Пересекая $[4.5, \infty)$ с $[0, 5]$, получаем итоговое решение: $[4.5, 5]$.

Ответ: $x \in [4.5, 5]$.

137. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x + 14} \ge x + 3;$

2) $\sqrt{11 - 5x} \ge x - 1;$

3) $\sqrt{x^2 + 7x + 12} > 6 - x.$

4) $\sqrt{-x^2 + 2x + 3} \ge x + 1.$

1)

Решим неравенство $\sqrt{2x + 14} \ge x + 3$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 2x + 14$ и $g(x) = x + 3$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x + 3 < 0 \\ 2x + 14 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ 2x \ge -14 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \ge -7 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-7, -3)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x + 14 \ge (x + 3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ 2x + 14 \ge x^2 + 6x + 9 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$0 \ge x^2 + 6x + 9 - 2x - 14$

$x^2 + 4x - 5 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 4x - 5$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 4x - 5 \le 0$ выполняется при $x \in [-5, 1]$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \in [-5, 1] \end{cases}$.

Решением этой системы является промежуток $x \in [-3, 1]$.

Объединим решения обеих систем:

Решением исходного неравенства является объединение промежутков $[-7, -3)$ и $[-3, 1]$, что дает $x \in [-7, 1]$.

Ответ: $x \in [-7, 1]$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{11 - 5x} \ge x - 1$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$

Здесь $f(x) = 11 - 5x$ и $g(x) = x - 1$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x - 1 < 0 \\ 11 - 5x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ 11 \ge 5x \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \le \frac{11}{5} \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in (-\infty, 1)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 11 - 5x \ge (x - 1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ 11 - 5x \ge x^2 - 2x + 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$0 \ge x^2 - 2x + 1 - 11 + 5x$

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. Корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 \le 0$ выполняется при $x \in [-5, 2]$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in [-5, 2] \end{cases}$.

Решением этой системы является промежуток $x \in [1, 2]$.

Объединим решения обеих систем:

Объединение промежутков $(-\infty, 1)$ и $[1, 2]$ дает $(-\infty, 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 7x + 12} > 6 - x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

Здесь $f(x) = x^2 + 7x + 12$ и $g(x) = 6 - x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения: $x^2 + 7x + 12 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$: $x_1 = -4, x_2 = -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-3, \infty)$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} 6 - x < 0 \\ x^2 + 7x + 12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ x \in (-\infty, -4] \cup [-3, \infty) \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $x \in (6, \infty)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ x^2 + 7x + 12 > (6 - x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 6 \\ x^2 + 7x + 12 > 36 - 12x + x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$7x + 12 > 36 - 12x \implies 19x > 24 \implies x > \frac{24}{19}$

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \le 6 \\ x > \frac{24}{19} \end{cases}$.

Решением этой системы является промежуток $x \in (\frac{24}{19}, 6]$. Этот промежуток удовлетворяет ОДЗ.

Объединим решения обеих систем:

Объединение промежутков $(\frac{24}{19}, 6]$ и $(6, \infty)$ дает $(\frac{24}{19}, \infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{24}{19}, \infty)$.

4)

Решим неравенство $\sqrt{-x^2 + 2x + 3} \ge x + 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$-x^2 + 2x + 3 \ge 0 \implies x^2 - 2x - 3 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

Неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$ выполняется при $x \in [-1, 3]$. Это ОДЗ.

Решаем неравенство с помощью совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} x + 1 < 0 \\ -x^2 + 2x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -1 \\ x \in [-1, 3] \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как пересечение множеств пустое.

2) $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ -x^2 + 2x + 3 \ge (x + 1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ -x^2 + 2x + 3 \ge x^2 + 2x + 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$0 \ge 2x^2 - 2 \implies 2x^2 \le 2 \implies x^2 \le 1$

Это неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

Найдем пересечение решений системы 2) с учетом ОДЗ:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x \in [-1, 1] \\ x \in [-1, 3] \end{cases}$

Пересечением всех трех условий является промежуток $x \in [-1, 1]$.

Общее решение неравенства — это решение второй системы, так как первая система решений не имеет.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

138. Решите неравенство:

1) $(6 - 7x)\sqrt{x} \ge 0;$

2) $\sqrt[5]{x} + 2\sqrt[10]{x} - 8 \ge 0;$

3) $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 7} \le 5.$

1) $(6-7x)\sqrt{x} \ge 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как под знаком квадратного корня может быть только неотрицательное число, то $x \ge 0$.

Неравенство представляет собой произведение двух множителей. Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака или один из них равен нулю.

Поскольку при $x \ge 0$ множитель $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен ($\sqrt{x} \ge 0$), мы можем рассмотреть два случая:

а) $\sqrt{x} = 0$, что выполняется при $x=0$. Подстановка в исходное неравенство дает $(6-7 \cdot 0)\sqrt{0} \ge 0$, или $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=0$ — это решение.

б) $\sqrt{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$. В этом случае, чтобы произведение было неотрицательным, второй множитель $(6-7x)$ также должен быть неотрицательным:

$6 - 7x \ge 0$

$6 \ge 7x$

$x \le \frac{6}{7}$

Теперь мы должны учесть все условия для этого случая: $x > 0$ и $x \le \frac{6}{7}$. Это дает нам интервал $(0, \frac{6}{7}]$.

Объединяя решения из обоих случаев (а и б), получаем: $\{0\} \cup (0, \frac{6}{7}] = [0, \frac{6}{7}]$.

Ответ: $[0, \frac{6}{7}]$

2) $\sqrt[5]{x} + 2\sqrt[10]{x} - 8 \ge 0$

ОДЗ определяется наличием корня четной степени $\sqrt[10]{x}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[10]{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то $t \ge 0$.

После замены исходное неравенство превращается в квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 + 2t - 8 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.

Графиком функции $y=t^2 + 2t - 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $t \le -4$ или $t \ge 2$.

Учитывая наше ограничение $t \ge 0$, из найденных решений подходит только $t \ge 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[10]{x} \ge 2$

Возведем обе части неравенства в 10-ю степень. Так как обе части неотрицательны и степень четная, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[10]{x})^{10} \ge 2^{10}$

$x \ge 1024$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $[1024, +\infty)$

3) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} \le 5$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -7 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge -2$, то есть $x \in [-2, +\infty)$.

Левая часть неравенства, функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{x+7}$, является возрастающей на всей области определения как сумма двух возрастающих функций.

Найдем значение $x$, при котором достигается равенство: $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат (обе части неотрицательны на ОДЗ):

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7})^2 = 5^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x+7)} + (x+7) = 25$

$2x + 9 + 2\sqrt{x^2+9x+14} = 25$

$2\sqrt{x^2+9x+14} = 16 - 2x$

$\sqrt{x^2+9x+14} = 8 - x$

Правая часть должна быть неотрицательной: $8-x \ge 0$, то есть $x \le 8$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$x^2+9x+14 = (8-x)^2$

$x^2+9x+14 = 64 - 16x + x^2$

$25x = 50$

$x = 2$

Найденный корень $x=2$ удовлетворяет и ОДЗ ($2 \ge -2$) и дополнительному условию ($2 \le 8$).

Итак, равенство $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} = 5$ достигается при $x=2$.

Поскольку функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{x+7}$ возрастающая, неравенство $f(x) \le 5$ будет выполняться для всех $x$ из ОДЗ, которые не превышают $2$, то есть $x \le 2$.

Совмещая это условие с ОДЗ ($x \ge -2$), получаем окончательное решение: $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $[-2, 2]$

139. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $a\sqrt{x+1} < 1;$

2) $(a-1)\sqrt{3-x} \ge 1.$

1) $a\sqrt{x+1} < 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Решение неравенства зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $a$, знак неравенства при этом не изменится:

$\sqrt{x+1} < \frac{1}{a}$

Так как обе части неравенства неотрицательны ($\sqrt{x+1} \ge 0$ и $\frac{1}{a} > 0$), мы можем возвести их в квадрат:

$x+1 < \left(\frac{1}{a}\right)^2$

$x+1 < \frac{1}{a^2}$

$x < \frac{1}{a^2} - 1$

Теперь объединим это решение с ОДЗ ($x \ge -1$). Получаем двойное неравенство:

$-1 \le x < \frac{1}{a^2} - 1$.

Случай 2: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в исходное неравенство:

$0 \cdot \sqrt{x+1} < 1$

$0 < 1$

Это верное числовое неравенство. Следовательно, при $a=0$ решением является любое значение $x$ из области допустимых значений.

Решение: $x \ge -1$.

Случай 3: $a < 0$.

В этом случае левая часть неравенства, $a\sqrt{x+1}$, всегда неположительна (произведение отрицательного числа $a$ и неотрицательного $\sqrt{x+1}$), то есть $a\sqrt{x+1} \le 0$. Правая часть равна 1. Неравенство $a\sqrt{x+1} < 1$ будет верным для любого $x$ из ОДЗ, так как любое неположительное число всегда меньше 1.

Решение: $x \ge -1$.

Объединяя случаи 2 и 3, получаем, что при $a \le 0$ решением будет $x \ge -1$.

Ответ: если $a \le 0$, то $x \in [-1; +\infty)$; если $a > 0$, то $x \in [-1; \frac{1}{a^2} - 1)$.

2) $(a-1)\sqrt{3-x} \ge 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$.

Решение зависит от знака выражения $(a-1)$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a-1 > 0$, то есть $a > 1$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(a-1)$, знак неравенства сохранится:

$\sqrt{3-x} \ge \frac{1}{a-1}$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:

$3-x \ge \left(\frac{1}{a-1}\right)^2$

$3-x \ge \frac{1}{(a-1)^2}$

$-x \ge \frac{1}{(a-1)^2} - 3$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x \le 3 - \frac{1}{(a-1)^2}$

Данное решение автоматически удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$), поскольку $3 - \frac{1}{(a-1)^2}$ всегда меньше, чем 3.

Случай 2: $a-1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходное неравенство:

$0 \cdot \sqrt{3-x} \ge 1$

$0 \ge 1$

Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a=1$ решений нет.

Случай 3: $a-1 < 0$, то есть $a < 1$.

В этом случае множитель $(a-1)$ отрицателен. Левая часть неравенства, $(a-1)\sqrt{3-x}$, является неположительной. Правая часть равна 1. Неположительное число не может быть больше или равно положительному числу 1.

Следовательно, при $a < 1$ решений нет.

Объединяя случаи 2 и 3, получаем, что при $a \le 1$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a \le 1$, то решений нет ($x \in \emptyset$); если $a > 1$, то $x \in (-\infty; 3 - \frac{1}{(a-1)^2}]$.