Страница 80 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Найдите значение выражения:

1) $4\sin(-60^\circ) - 3\operatorname{ctg}(-60^\circ) + 5\cos(-30^\circ);$

2) $\frac{\cos(-45^\circ)\operatorname{tg}(-60^\circ)}{\sin(-30^\circ)};$

3) $2\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3\cos(-\pi) + 6\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right).$

1) $4\sin(-60^\circ) - 3\text{ctg}(-60^\circ) + 5\cos(-30^\circ)$

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:

• Синус – нечетная функция: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$
• Котангенс – нечетная функция: $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
• Косинус – четная функция: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Применим эти свойства к нашему выражению:

$4(-\sin(60^\circ)) - 3(-\text{ctg}(60^\circ)) + 5(\cos(30^\circ)) = -4\sin(60^\circ) + 3\text{ctg}(60^\circ) + 5\cos(30^\circ)$

Теперь подставим табличные значения для углов $60^\circ$ и $30^\circ$:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение и вычислим:

$-4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3} + \sqrt{3} + \frac{5\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} + \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

2) $\frac{\cos(-45^\circ)\text{tg}(-60^\circ)}{\sin(-30^\circ)}$

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
• $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$
• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

Преобразуем выражение:

$\frac{\cos(45^\circ)(-\text{tg}(60^\circ))}{-\sin(30^\circ)} = \frac{-\cos(45^\circ)\text{tg}(60^\circ)}{-\sin(30^\circ)} = \frac{\cos(45^\circ)\text{tg}(60^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Подставим табличные значения:

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot 2 = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

3) $2\sin^2(-\frac{\pi}{6})\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 3\cos(-\pi) + 6\cos^2(-\frac{\pi}{4})$

Вспомним, что $(\text{f}(-\alpha))^2 = (\pm \text{f}(\alpha))^2 = (\text{f}(\alpha))^2$ для любой функции. Таким образом, для четных степеней синуса и косинуса:

• $\sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)$
• $\cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha)$

Также используем свойства нечетности котангенса и четности косинуса:

• $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Преобразуем выражение:

$2\sin^2(\frac{\pi}{6}) \cdot (-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) + 3\cos(\pi) + 6\cos^2(\frac{\pi}{4}) = -2\sin^2(\frac{\pi}{6})\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + 3\cos(\pi) + 6\cos^2(\frac{\pi}{4})$

Подставим табличные значения (в радианах):

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(\pi) = -1$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения и вычислим:

$-2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 6 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = -2 \cdot \frac{1}{4} - 3 + 6 \cdot \frac{2}{4} = -\frac{2}{4} - 3 + \frac{12}{4} = -\frac{1}{2} - 3 + 3 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

157. Определите знак выражения:

1) $\cos 260^\circ \sin 190^\circ$;

2) $\cos 356^\circ \operatorname{tg} (-100^\circ)$;

3) $\sin 2 \cos 3,5$.

1) cos 260° sin 190°

Чтобы определить знак произведения, нужно определить знак каждого множителя. Для этого определим, в какой координатной четверти находится каждый угол.

Угол $260^{\circ}$ находится в III четверти, так как $180^{\circ} < 260^{\circ} < 270^{\circ}$. Косинус в III четверти имеет знак минус. Следовательно, $\cos 260^{\circ} < 0$.

Угол $190^{\circ}$ также находится в III четверти, так как $180^{\circ} < 190^{\circ} < 270^{\circ}$. Синус в III четверти имеет знак минус. Следовательно, $\sin 190^{\circ} < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:
$(\cos 260^{\circ}) \cdot (\sin 190^{\circ}) = (-) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: знак плюс (+).

2) cos 356° tg (–100°)

Определим знак каждого из множителей.

Угол $356^{\circ}$ находится в IV четверти, так как $270^{\circ} < 356^{\circ} < 360^{\circ}$. Косинус в IV четверти имеет знак плюс. Следовательно, $\cos 356^{\circ} > 0$.

Угол $-100^{\circ}$ находится в III четверти (соответствует углу $360^{\circ} - 100^{\circ} = 260^{\circ}$). Тангенс в III четверти имеет знак плюс. Следовательно, $\tg(-100^{\circ}) > 0$.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом:
$(\cos 356^{\circ}) \cdot (\tg(-100^{\circ})) = (+) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: знак плюс (+).

3) sin 2 cos 3,5

Так как в аргументах функций не указан знак градуса, то углы измеряются в радианах. Для определения четверти будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.

Определим знак $\sin 2$.
Знаем, что $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$ и $\pi \approx 3,14$.
Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в $2$ радиана находится во II четверти. Синус во II четверти имеет знак плюс. Следовательно, $\sin 2 > 0$.

Определим знак $\cos 3,5$.
Знаем, что $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$.
Поскольку $\pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2}$, угол в $3,5$ радиана находится в III четверти. Косинус в III четверти имеет знак минус. Следовательно, $\cos 3,5 < 0$.

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом:
$(\sin 2) \cdot (\cos 3,5) = (+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак минус (-).

158. Сравните:

1) $ \sin 156^\circ $ и $ \cos 256^\circ $;

2) $ \text{ctg } 220^\circ $ и $ \text{tg } (-220^\circ) $;

3) $ \sin \frac{7\pi}{4} $ и $ \cos \frac{11\pi}{6} $;

4) $ \cos 3 $ и $ \sin 1 $.

1) sin 156° и cos 256°

Определим знаки данных тригонометрических выражений, используя единичную окружность.

Угол $156^\circ$ находится во второй координатной четверти (так как $90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$). Значения синуса во второй четверти положительны. Следовательно, $\sin 156^\circ > 0$.

Угол $256^\circ$ находится в третьей координатной четверти (так как $180^\circ < 256^\circ < 270^\circ$). Значения косинуса в третьей четверти отрицательны. Следовательно, $\cos 256^\circ < 0$.

Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного числа, то $\sin 156^\circ > \cos 256^\circ$.

Ответ: $\sin 156^\circ > \cos 256^\circ$.

2) ctg 220° и tg (-220°)

Определим знаки данных выражений.

Угол $220^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 220^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны, поэтому их отношение — котангенс — положителен. Следовательно, $\operatorname{ctg} 220^\circ > 0$.

Тангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$. Таким образом, $\operatorname{tg}(-220^\circ) = -\operatorname{tg}(220^\circ)$.

Угол $220^\circ$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен ($\operatorname{tg} 220^\circ > 0$).

Значит, $-\operatorname{tg}(220^\circ)$ является отрицательным числом, то есть $\operatorname{tg}(-220^\circ) < 0$.

Сравнивая положительное число $\operatorname{ctg} 220^\circ$ и отрицательное число $\operatorname{tg}(-220^\circ)$, получаем, что $\operatorname{ctg} 220^\circ > \operatorname{tg}(-220^\circ)$.

Ответ: $\operatorname{ctg} 220^\circ > \operatorname{tg}(-220^\circ)$.

3) sin(7π/4) и cos(11π/6)

Найдем точные значения данных тригонометрических функций, используя формулы приведения.

Для $\sin\frac{7\pi}{4}$:
$\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $\cos\frac{11\pi}{6}$:
$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — отрицательное число, а $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — положительное, то очевидно, что $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin\frac{7\pi}{4} < \cos\frac{11\pi}{6}$.

Ответ: $\sin\frac{7\pi}{4} < \cos\frac{11\pi}{6}$.

4) cos 3 и sin 1

В данном случае углы $3$ и $1$ заданы в радианах. Для их сравнения определим знаки функций.

Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

Рассмотрим угол $1$ радиан. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (т.е. $0 < 1 < 1.57$), этот угол находится в первой четверти. Синус в первой четверти положителен, поэтому $\sin 1 > 0$.

Рассмотрим угол $3$ радиана. Так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (т.е. $1.57 < 3 < 3.14$), этот угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому $\cos 3 < 0$.

Сравнивая положительное число $\sin 1$ и отрицательное число $\cos 3$, приходим к выводу, что $\cos 3 < \sin 1$.

Ответ: $\cos 3 < \sin 1$.

159. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$;

2) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$?

1)

По условию даны два неравенства: $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha \cdot cos \alpha < 0$.
Первое неравенство $cos \alpha < 0$ означает, что угол $\alpha$ принадлежит либо II, либо III координатной четверти (так как косинус, соответствующий абсциссе точки на единичной окружности, отрицателен в этих четвертях).
Второе неравенство $sin \alpha \cdot cos \alpha < 0$ говорит о том, что $sin \alpha$ и $cos \alpha$ имеют разные знаки.
Так как из первого условия мы знаем, что $cos \alpha < 0$, то для выполнения второго условия необходимо, чтобы $sin \alpha$ был положителен: $sin \alpha > 0$.
Теперь нам нужно найти четверть, в которой одновременно выполняются условия $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha > 0$.
Вспомним знаки тригонометрических функций по четвертям:

• I четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha > 0$
• II четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha < 0$
• III четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha < 0$
• IV четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$

Условиям $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha > 0$ удовлетворяет только II четверть.
Ответ: II четверть.

2)

По условию даны равенство $|cos \alpha| = -cos \alpha$ и неравенство $sin \alpha \cdot cos \alpha > 0$.
Равенство $|x| = -x$ выполняется только тогда, когда $x \le 0$. Следовательно, из первого условия $|cos \alpha| = -cos \alpha$ следует, что $cos \alpha \le 0$.
Из второго условия $sin \alpha \cdot cos \alpha > 0$ следует, что ни $sin \alpha$, ни $cos \alpha$ не могут быть равны нулю. Значит, $cos \alpha$ не может быть равен нулю. Таким образом, из первого условия получаем строгое неравенство $cos \alpha < 0$. Это означает, что угол $\alpha$ принадлежит либо II, либо III координатной четверти.
Второе условие $sin \alpha \cdot cos \alpha > 0$ говорит о том, что $sin \alpha$ и $cos \alpha$ имеют одинаковые знаки.
Поскольку мы уже установили, что $cos \alpha < 0$, то и $sin \alpha$ должен быть отрицательным: $sin \alpha < 0$.
Теперь нам нужно найти четверть, в которой одновременно выполняются условия $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha < 0$.
Этим условиям удовлетворяет только III четверть.
Ответ: III четверть.

160. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \operatorname{tg}^3 x;$

2) $f(x) = \operatorname{tg} x + \sin x;$

3) $f(x) = \frac{x \sin x}{2 + \cos x};$

4) $f(x) = \frac{x^5 + \operatorname{tg} x}{x^2 - 36};$

5) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{|x|-5};$

6) $f(x) = \frac{(1 - \sin x)(x + 1)}{x + 1};$

7) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}|x + 3|}{\operatorname{tg}|x - 3|}. $

1) $f(x) = \text{tg}^3x$

Область определения $D(f)$ функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \text{tg}^3(-x) = (\text{tg}(-x))^3$.

Так как тангенс — нечётная функция ($\text{tg}(-x) = -\text{tg}x$), то:

$f(-x) = (-\text{tg}x)^3 = -\text{tg}^3x = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

2) $f(x) = \text{tg}x + \sin x$

Область определения $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \text{tg}(-x) + \sin(-x)$.

Функции $\text{tg}x$ и $\sin x$ являются нечётными, поэтому $\text{tg}(-x) = -\text{tg}x$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = -\text{tg}x - \sin x = -(\text{tg}x + \sin x) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной (как сумма двух нечётных функций).

Ответ: нечётная.

3) $f(x) = \frac{x \sin x}{2 + \cos x}$

Область определения $D(f)$: знаменатель $2 + \cos x \neq 0$. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $1 \le 2 + \cos x \le 3$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$. Область определения симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{2 + \cos(-x)}$.

Используем свойства чётности: $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная) и $\cos(-x) = \cos x$ (чётная).

$f(-x) = \frac{(-x)(-\sin x)}{2 + \cos x} = \frac{x \sin x}{2 + \cos x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{x^5 + \text{tg}x}{x^2 - 36}$

Область определения $D(f)$: $x^2 - 36 \neq 0 \implies x \neq \pm 6$ и $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^5 + \text{tg}(-x)}{(-x)^2 - 36}$.

Учитывая, что $x^5$ и $\text{tg}x$ — нечётные функции, а $x^2$ — чётная:

$f(-x) = \frac{-x^5 - \text{tg}x}{x^2 - 36} = \frac{-(x^5 + \text{tg}x)}{x^2 - 36} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

5) $f(x) = \frac{\text{ctg}x}{|x| - 5}$

Область определения $D(f)$: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $|x| - 5 \neq 0 \implies |x| \neq 5 \implies x \neq \pm 5$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\text{ctg}(-x)}{|-x| - 5}$.

Функция $\text{ctg}x$ является нечётной ($\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}x$), а функция $|x|$ является чётной ($|-x| = |x|$).

$f(-x) = \frac{-\text{ctg}x}{|x| - 5} = - \frac{\text{ctg}x}{|x| - 5} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

6) $f(x) = \frac{(1 - \sin x)(x+1)}{x+1}$

Область определения $D(f)$: знаменатель $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет).

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

7) $f(x) = \frac{\text{tg}|x| + 3}{\text{tg}|x| - 3}$

Область определения $D(f)$: $\text{tg}|x| - 3 \neq 0 \implies \text{tg}|x| \neq 3$ и $\cos|x| \neq 0$. Поскольку $\cos|x| = \cos x$, то $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Условие $\text{tg}|x| \neq 3$ также задает симметричную область определения, так как если $x_0$ удовлетворяет ему, то и $-x_0$ удовлетворяет. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\text{tg}|-x| + 3}{\text{tg}|-x| - 3}$.

Так как $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = \frac{\text{tg}|x| + 3}{\text{tg}|x| - 3} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

161. Найдите значение выражения:

1) $\sin 420^\circ$;

2) $\cos 600^\circ$;

3) $\text{tg } 390^\circ$;

4) $\text{ctg } (-780^\circ)$;

5) $\cos \frac{23\pi}{4}$;

6) $\text{tg } \left(-\frac{13\pi}{3}\right)$.

1) Для нахождения значения $\sin 420^\circ$ воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $360^\circ$, поэтому $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin \alpha$ для любого целого $k$.
Представим угол $420^\circ$ в виде суммы $360^\circ$ и некоторого угла:
$420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$.
Следовательно, $\sin 420^\circ = \sin(360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ$.
Значение $\sin 60^\circ$ является табличным: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos 600^\circ$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $360^\circ$.
Представим угол $600^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$600^\circ = 360^\circ + 240^\circ$.
Следовательно, $\cos 600^\circ = \cos(360^\circ + 240^\circ) = \cos 240^\circ$.
Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти. Для приведения к углу в первой четверти воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$:
$\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ$.
Значение $\cos 60^\circ$ является табличным: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\cos 600^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Для нахождения значения $\text{tg} 390^\circ$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $180^\circ$ (также можно использовать $360^\circ$).
Представим угол $390^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$.
Следовательно, $\text{tg} 390^\circ = \text{tg}(360^\circ + 30^\circ) = \text{tg} 30^\circ$.
Значение $\text{tg} 30^\circ$ является табличным: $\text{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Для нахождения значения $\text{ctg}(-780^\circ)$ воспользуемся свойствами функции котангенс. Котангенс - нечетная функция, то есть $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Период котангенса равен $180^\circ$ (также можно использовать $360^\circ$).
$\text{ctg}(-780^\circ) = -\text{ctg}(780^\circ)$.
Представим угол $780^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$780^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ = 720^\circ + 60^\circ$.
Следовательно, $\text{ctg}(780^\circ) = \text{ctg}(720^\circ + 60^\circ) = \text{ctg}(60^\circ)$.
Таким образом, $\text{ctg}(-780^\circ) = -\text{ctg}(60^\circ)$.
Значение $\text{ctg}(60^\circ)$ является табличным: $\text{ctg}(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значит, $\text{ctg}(-780^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5) Для нахождения значения $\cos \frac{23\pi}{4}$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$.
Представим угол $\frac{23\pi}{4}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $2\pi$.
$\frac{23\pi}{4} = \frac{16\pi + 7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 4\pi + \frac{7\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{7\pi}{4}$.
Следовательно, $\cos \frac{23\pi}{4} = \cos(4\pi + \frac{7\pi}{4}) = \cos \frac{7\pi}{4}$.
Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой четверти. Для приведения к углу в первой четверти воспользуемся формулой приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$:
$\cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4}$.
Значение $\cos \frac{\pi}{4}$ является табличным: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Другой способ: $\frac{23\pi}{4} = \frac{24\pi - \pi}{4} = 6\pi - \frac{\pi}{4}$.
$\cos(\frac{23\pi}{4}) = \cos(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4})$. Так как косинус - четная функция, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

6) Для нахождения значения $\text{tg}(-\frac{13\pi}{3})$ воспользуемся свойствами функции тангенс. Тангенс - нечетная функция, то есть $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$. Период тангенса равен $\pi$.
$\text{tg}(-\frac{13\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{13\pi}{3})$.
Представим угол $\frac{13\pi}{3}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.
$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\text{tg}(\frac{13\pi}{3}) = \text{tg}(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3})$.
Таким образом, $\text{tg}(-\frac{13\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{3})$ является табличным: $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Значит, $\text{tg}(-\frac{13\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.