Номер 156, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Найдите значение выражения:

1) $4\sin(-60^\circ) - 3\operatorname{ctg}(-60^\circ) + 5\cos(-30^\circ);$

2) $\frac{\cos(-45^\circ)\operatorname{tg}(-60^\circ)}{\sin(-30^\circ)};$

3) $2\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3\cos(-\pi) + 6\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right).$

1) $4\sin(-60^\circ) - 3\text{ctg}(-60^\circ) + 5\cos(-30^\circ)$

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:

• Синус – нечетная функция: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$
• Котангенс – нечетная функция: $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
• Косинус – четная функция: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Применим эти свойства к нашему выражению:

$4(-\sin(60^\circ)) - 3(-\text{ctg}(60^\circ)) + 5(\cos(30^\circ)) = -4\sin(60^\circ) + 3\text{ctg}(60^\circ) + 5\cos(30^\circ)$

Теперь подставим табличные значения для углов $60^\circ$ и $30^\circ$:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение и вычислим:

$-4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3} + \sqrt{3} + \frac{5\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} + \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

2) $\frac{\cos(-45^\circ)\text{tg}(-60^\circ)}{\sin(-30^\circ)}$

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
• $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$
• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

Преобразуем выражение:

$\frac{\cos(45^\circ)(-\text{tg}(60^\circ))}{-\sin(30^\circ)} = \frac{-\cos(45^\circ)\text{tg}(60^\circ)}{-\sin(30^\circ)} = \frac{\cos(45^\circ)\text{tg}(60^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Подставим табличные значения:

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot 2 = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

3) $2\sin^2(-\frac{\pi}{6})\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 3\cos(-\pi) + 6\cos^2(-\frac{\pi}{4})$

Вспомним, что $(\text{f}(-\alpha))^2 = (\pm \text{f}(\alpha))^2 = (\text{f}(\alpha))^2$ для любой функции. Таким образом, для четных степеней синуса и косинуса:

• $\sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)$
• $\cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha)$

Также используем свойства нечетности котангенса и четности косинуса:

• $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Преобразуем выражение:

$2\sin^2(\frac{\pi}{6}) \cdot (-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) + 3\cos(\pi) + 6\cos^2(\frac{\pi}{4}) = -2\sin^2(\frac{\pi}{6})\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + 3\cos(\pi) + 6\cos^2(\frac{\pi}{4})$

Подставим табличные значения (в радианах):

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(\pi) = -1$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения и вычислим:

$-2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 6 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = -2 \cdot \frac{1}{4} - 3 + 6 \cdot \frac{2}{4} = -\frac{2}{4} - 3 + \frac{12}{4} = -\frac{1}{2} - 3 + 3 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$