Номер 152, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $7 \cos \alpha - 3$;

2) $5 - \sin^2 \alpha$;

3) $\frac{\cos \alpha(5 + \sin \alpha)}{\cos \alpha}$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $7 \cos \alpha - 3$ необходимо использовать свойство ограниченности функции косинуса.

Область значений функции $y = \cos \alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos \alpha \le 1$

Чтобы найти наибольшее значение выражения, подставим наибольшее значение $\cos \alpha$, равное 1:

Наибольшее значение: $7 \cdot 1 - 3 = 7 - 3 = 4$.

Чтобы найти наименьшее значение выражения, подставим наименьшее значение $\cos \alpha$, равное -1:

Наименьшее значение: $7 \cdot (-1) - 3 = -7 - 3 = -10$.

Ответ: наибольшее значение равно 4, наименьшее значение равно -10.

2) Рассмотрим выражение $5 - \sin^2 \alpha$. Его значение зависит от значения $\sin^2 \alpha$.

Область значений функции $y = \sin \alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

При возведении в квадрат любого значения из этого отрезка, результат будет неотрицательным и не превзойдет 1. Таким образом, область значений для $\sin^2 \alpha$ — это отрезок $[0, 1]$:

$0 \le \sin^2 \alpha \le 1$

Наибольшее значение выражения $5 - \sin^2 \alpha$ достигается тогда, когда вычитаемое $\sin^2 \alpha$ минимально, то есть равно 0:

Наибольшее значение: $5 - 0 = 5$.

Наименьшее значение выражения достигается тогда, когда вычитаемое $\sin^2 \alpha$ максимально, то есть равно 1:

Наименьшее значение: $5 - 1 = 4$.

Ответ: наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно 4.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\cos \alpha(5 + \sin \alpha)}{\cos \alpha}$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $\cos \alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

При условии $\cos \alpha \neq 0$ мы можем сократить дробь на $\cos \alpha$. В результате выражение упрощается до:

$5 + \sin \alpha$

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения для этого упрощенного выражения. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Наибольшее значение выражения $5 + \sin \alpha$ достигается при наибольшем значении $\sin \alpha$, равном 1:

Наибольшее значение: $5 + 1 = 6$.

Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем значении $\sin \alpha$, равном -1:

Наименьшее значение: $5 + (-1) = 5 - 1 = 4$.

Следует отметить, что при $\sin \alpha = 1$ или $\sin \alpha = -1$, значение $\cos \alpha$ равно 0, что не входит в ОДЗ исходного выражения. Это означает, что значения 6 и 4 являются точными верхней и нижней границами множества значений выражения, но сами эти значения не достигаются. Однако в рамках стандартных задач под наибольшим и наименьшим значениями понимают именно эти граничные значения.

Ответ: наибольшее значение равно 6, наименьшее значение равно 4.