Номер 154, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Найдите область значений выражения:

1) $\frac{1}{3 + \cos 2x}$;

2) $1 - 2|\sin 4x|$;

3) $\frac{1}{1 - \sin 3x}$;

4) $1 - \operatorname{ctg}^4 x$.

1) Чтобы найти область значений выражения $ \frac{1}{3 + \cos(2x)} $, сначала определим область значений знаменателя. Область значений функции косинус, $ \cos(2x) $, является отрезком $ [-1, 1] $. Следовательно, $ -1 \le \cos(2x) \le 1 $.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$ 3 - 1 \le 3 + \cos(2x) \le 3 + 1 $
$ 2 \le 3 + \cos(2x) \le 4 $
Знаменатель $ 3 + \cos(2x) $ принимает значения от 2 до 4 включительно. Так как знаменатель находится в диапазоне $ [2, 4] $, то значение всего выражения $ \frac{1}{3 + \cos(2x)} $ будет находиться в диапазоне от $ \frac{1}{4} $ (при наибольшем значении знаменателя) до $ \frac{1}{2} $ (при наименьшем значении знаменателя).
Таким образом, область значений выражения – это отрезок $ [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $.
Ответ: $ [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $.

2) Рассмотрим выражение $ 1 - 2|\sin(4x)| $. Область значений функции синус, $ \sin(4x) $, является отрезком $ [-1, 1] $. Для модуля синуса $ |\sin(4x)| $ область значений будет $ [0, 1] $, так как модуль всегда неотрицателен.
$ 0 \le |\sin(4x)| \le 1 $
Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ 0 \cdot (-2) \ge -2|\sin(4x)| \ge 1 \cdot (-2) $
$ 0 \ge -2|\sin(4x)| \ge -2 $, или, в привычном виде, $ -2 \le -2|\sin(4x)| \le 0 $.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$ 1 - 2 \le 1 - 2|\sin(4x)| \le 1 + 0 $
$ -1 \le 1 - 2|\sin(4x)| \le 1 $
Следовательно, область значений выражения – это отрезок $ [-1, 1] $.
Ответ: $ [-1, 1] $.

3) Для выражения $ \frac{1}{1 - \sin(3x)} $, сначала рассмотрим знаменатель. Область значений функции $ \sin(3x) $ – это отрезок $ [-1, 1] $. Знаменатель $ 1 - \sin(3x) $ не может быть равен нулю, поэтому $ \sin(3x) \ne 1 $. Таким образом, значения, которые принимает $ \sin(3x) $, лежат в полуинтервале $ [-1, 1) $.
Найдем диапазон значений знаменателя $ 1 - \sin(3x) $:
Наибольшее значение: $ 1 - (-1) = 2 $.
Наименьшее значение знаменатель не достигает, но стремится к $ 1 - 1 = 0 $ справа (т.е. остается положительным).
Таким образом, знаменатель $ 1 - \sin(3x) $ принимает значения из полуинтервала $ (0, 2] $.
Теперь найдем область значений всего выражения $ \frac{1}{1 - \sin(3x)} $:
Наименьшее значение дроби будет при наибольшем значении знаменателя: $ \frac{1}{2} $.
Когда знаменатель стремится к нулю, значение дроби стремится к $ +\infty $.
Следовательно, область значений выражения – это луч $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.
Ответ: $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.

4) Рассмотрим выражение $ 1 - \operatorname{ctg}^4 x $. Область значений функции котангенс, $ \operatorname{ctg} x $, – это все действительные числа, то есть $ (-\infty, +\infty) $.
При возведении в четвёртую степень $ \operatorname{ctg}^4 x $ все значения становятся неотрицательными. Минимальное значение будет 0 (когда $ \operatorname{ctg} x = 0 $), а максимальное значение не ограничено. Таким образом, область значений $ \operatorname{ctg}^4 x $ – это луч $ [0, +\infty) $.
$ 0 \le \operatorname{ctg}^4 x < +\infty $
Умножим на -1, изменив знаки неравенства:
$ 0 \ge -\operatorname{ctg}^4 x > -\infty $
Или, в привычном виде: $ -\infty < -\operatorname{ctg}^4 x \le 0 $.
Прибавим 1 ко всем частям:
$ -\infty + 1 < 1 - \operatorname{ctg}^4 x \le 0 + 1 $
$ -\infty < 1 - \operatorname{ctg}^4 x \le 1 $
Следовательно, область значений выражения – это луч $ (-\infty, 1] $.
Ответ: $ (-\infty, 1] $.