Номер 158, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Сравните:

1) $ \sin 156^\circ $ и $ \cos 256^\circ $;

2) $ \text{ctg } 220^\circ $ и $ \text{tg } (-220^\circ) $;

3) $ \sin \frac{7\pi}{4} $ и $ \cos \frac{11\pi}{6} $;

4) $ \cos 3 $ и $ \sin 1 $.

1) sin 156° и cos 256°

Определим знаки данных тригонометрических выражений, используя единичную окружность.

Угол $156^\circ$ находится во второй координатной четверти (так как $90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$). Значения синуса во второй четверти положительны. Следовательно, $\sin 156^\circ > 0$.

Угол $256^\circ$ находится в третьей координатной четверти (так как $180^\circ < 256^\circ < 270^\circ$). Значения косинуса в третьей четверти отрицательны. Следовательно, $\cos 256^\circ < 0$.

Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного числа, то $\sin 156^\circ > \cos 256^\circ$.

Ответ: $\sin 156^\circ > \cos 256^\circ$.

2) ctg 220° и tg (-220°)

Определим знаки данных выражений.

Угол $220^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 220^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны, поэтому их отношение — котангенс — положителен. Следовательно, $\operatorname{ctg} 220^\circ > 0$.

Тангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$. Таким образом, $\operatorname{tg}(-220^\circ) = -\operatorname{tg}(220^\circ)$.

Угол $220^\circ$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен ($\operatorname{tg} 220^\circ > 0$).

Значит, $-\operatorname{tg}(220^\circ)$ является отрицательным числом, то есть $\operatorname{tg}(-220^\circ) < 0$.

Сравнивая положительное число $\operatorname{ctg} 220^\circ$ и отрицательное число $\operatorname{tg}(-220^\circ)$, получаем, что $\operatorname{ctg} 220^\circ > \operatorname{tg}(-220^\circ)$.

Ответ: $\operatorname{ctg} 220^\circ > \operatorname{tg}(-220^\circ)$.

3) sin(7π/4) и cos(11π/6)

Найдем точные значения данных тригонометрических функций, используя формулы приведения.

Для $\sin\frac{7\pi}{4}$:
$\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $\cos\frac{11\pi}{6}$:
$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — отрицательное число, а $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — положительное, то очевидно, что $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin\frac{7\pi}{4} < \cos\frac{11\pi}{6}$.

Ответ: $\sin\frac{7\pi}{4} < \cos\frac{11\pi}{6}$.

4) cos 3 и sin 1

В данном случае углы $3$ и $1$ заданы в радианах. Для их сравнения определим знаки функций.

Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

Рассмотрим угол $1$ радиан. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (т.е. $0 < 1 < 1.57$), этот угол находится в первой четверти. Синус в первой четверти положителен, поэтому $\sin 1 > 0$.

Рассмотрим угол $3$ радиана. Так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (т.е. $1.57 < 3 < 3.14$), этот угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому $\cos 3 < 0$.

Сравнивая положительное число $\sin 1$ и отрицательное число $\cos 3$, приходим к выводу, что $\cos 3 < \sin 1$.

Ответ: $\cos 3 < \sin 1$.