Номер 164, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Покажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = \cos 2x$, $T = \pi$;

2) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}$, $T = 4$;

3) $f(x) = \left|\operatorname{tg} \frac{x}{4}\right|$, $T = 2\pi$;

4) $f(x) = \sin^6 4x$, $T = \frac{\pi}{4}$.

Чтобы показать, что число $T$ является периодом функции $f(x)$, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть такой, что если $x \in D(f)$, то $x+T$ и $x-T$ также должны принадлежать $D(f)$.
2. Для любого $x$ из области определения функции должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

1) $f(x) = \cos(2x)$, $T = \pi$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Если $x \in \mathbb{R}$, то и $x+\pi \in \mathbb{R}$. Первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f(x+\pi) = \cos(2(x+\pi)) = \cos(2x+2\pi)$.
Поскольку функция косинус имеет основной период $2\pi$, то $\cos(A+2\pi) = \cos(A)$ для любого $A$.
Следовательно, $\cos(2x+2\pi) = \cos(2x) = f(x)$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Число $T = \pi$ является периодом функции $f(x) = \cos(2x)$.

2) $f(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$, $T = 4$

Область определения функции тангенс $\operatorname{tg}(u)$ требует, чтобы $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $u = \frac{\pi x}{2}$, поэтому $\frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Разделив на $\pi$ и умножив на 2, получаем $x \neq 1 + 2k$. Таким образом, $D(f)$ — все действительные числа, кроме нечетных целых чисел.
Если $x \in D(f)$, то $x$ не является нечетным целым числом. Тогда $x+4$ также не будет нечетным целым числом, так как если предположить обратное, $x+4 = 1+2k$, то $x = -3+2k = 1+2(k-2)$, что противоречит принадлежности $x$ к области определения. Первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f(x+4) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi(x+4)}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{4\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2} + 2\pi\right)$.
Поскольку функция тангенс имеет основной период $\pi$, она также имеет период $2\pi$, то есть $\operatorname{tg}(A+2\pi) = \operatorname{tg}(A)$ для любого $A$ из области определения.
Следовательно, $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2} + 2\pi\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right) = f(x)$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из $D(f)$.

Ответ: Число $T = 4$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.

3) $f(x) = \left|\operatorname{tg}\frac{x}{4}\right|$, $T = 2\pi$

Область определения функции определяется условием $\frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Умножив на 4, получаем $x \neq 2\pi + 4\pi k$.
Проверим, что если $x \in D(f)$, то и $x+2\pi \in D(f)$. Если $x+2\pi$ не принадлежит $D(f)$, то $x+2\pi = 2\pi + 4\pi m$ для некоторого $m \in \mathbb{Z}$, что означает $x=4\pi m$. Но точки вида $4\pi m$ принадлежат $D(f)$, так как равенство $4\pi m = 2\pi + 4\pi k$ приводит к неверному равенству $2m=1+2k$. Значит, первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f(x+2\pi) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x+2\pi}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \frac{2\pi}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{2}\right)\right|$.
Используя формулу приведения $\operatorname{tg}(A + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}(A)$, получаем:
$f(x+2\pi) = \left|-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\right|$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ свелось к равенству $\left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)\right|$.
Это равенство неверно для всех $x$ из области определения. Например, выберем $x = \frac{2\pi}{3}$, тогда $\frac{x}{4} = \frac{\pi}{6}$.
$f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
При этом $f\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi\right) = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
Так как $\frac{1}{\sqrt{3}} \neq \sqrt{3}$, то равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется.
Следовательно, в условии задачи допущена опечатка. Наименьший положительный период для функции $g(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)$ равен $T_g = \frac{\pi}{1/4} = 4\pi$. Для функции $f(x) = |g(x)| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)\right|$ наименьший положительный период также равен $4\pi$.
Покажем, что $T = 4\pi$ является периодом:
$f(x+4\pi) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x+4\pi}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \pi\right)\right|$.
Так как период тангенса равен $\pi$, $\operatorname{tg}(A+\pi) = \operatorname{tg}(A)$, поэтому:
$\left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \pi\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)\right| = f(x)$.
Это равенство выполняется, значит $T=4\pi$ является периодом.

Ответ: Число $T = 2\pi$ не является периодом функции $f(x) = \left|\operatorname{tg}\frac{x}{4}\right|$. Вероятно, в условии опечатка, и периодом является число $T=4\pi$.

4) $f(x) = \sin^6(4x)$, $T = \frac{\pi}{4}$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$. Если $x \in \mathbb{R}$, то и $x+\frac{\pi}{4} \in \mathbb{R}$. Первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \sin^6\left(4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin^6\left(4x + 4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin^6(4x + \pi)$.
Используя формулу приведения $\sin(A+\pi) = -\sin(A)$, получаем:
$\sin^6(4x + \pi) = (-\sin(4x))^6$.
Так как степень 6 является четным числом, $(-1)^6 = 1$, то $(-\sin(4x))^6 = (\sin(4x))^6 = \sin^6(4x) = f(x)$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Число $T = \frac{\pi}{4}$ является периодом функции $f(x) = \sin^6(4x)$.