Номер 166, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Какие из указанных точек принадлежат графику функции:

1) $y = \sin x$;

2) $y = \cos x$:

1) A $(-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$;

2) B $(9\pi; -1)$;

3) C $(\frac{13\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$;

4) D $(-\frac{11\pi}{3}; \frac{1}{2})$;

5) E $(-\frac{5\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) $A(-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{7\pi}{6}$: $\sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки A: $\frac{1}{2} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, точка A не принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{7\pi}{6}$: $\cos(-\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки A: $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, точка A принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка A принадлежит графику функции $y = \cos x$.

2) $B(9\pi; -1)$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = 9\pi$: $\sin(9\pi) = \sin(8\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
Сравниваем с координатой y точки B: $0 \neq -1$. Следовательно, точка B не принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = 9\pi$: $\cos(9\pi) = \cos(8\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Сравниваем с координатой y точки B: $-1 = -1$. Следовательно, точка B принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка B принадлежит графику функции $y = \cos x$.

3) $C(\frac{13\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{13\pi}{4}$: $\sin(\frac{13\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки C: $-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка C принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{13\pi}{4}$: $\cos(\frac{13\pi}{4}) = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки C: $-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка C принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка C принадлежит графикам функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$.

4) $D(-\frac{11\pi}{3}; \frac{1}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{11\pi}{3}$: $\sin(-\frac{11\pi}{3}) = -\sin(\frac{11\pi}{3}) = -\sin(4\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки D: $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, точка D не принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{11\pi}{3}$: $\cos(-\frac{11\pi}{3}) = \cos(\frac{11\pi}{3}) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки D: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, точка D принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка D принадлежит графику функции $y = \cos x$.

5) $E(-\frac{5\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{5\pi}{4}$: $\sin(-\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки E: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка E принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{5\pi}{4}$: $\cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки E: $-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка E не принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка E принадлежит графику функции $y = \sin x$.

Итоговый ответ:
1) Графику функции $y = \sin x$ принадлежат точки: C и E.
2) Графику функции $y = \cos x$ принадлежат точки: A, B, C и D.