Номер 169, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Определите знак разности:

1) $\sin 26^\circ - \cos 26^\circ$;

2) $\cos 39^\circ - \sin 44^\circ$;

3) $\sin 64^\circ - \cos 32^\circ$.

1) $\sin 26° - \cos 26°$

Для определения знака разности сравним значения $\sin 26°$ и $\cos 26°$. Для этого приведем обе функции к синусу, используя формулу приведения $\cos x = \sin(90° - x)$.

Преобразуем выражение:

$\sin 26° - \cos 26° = \sin 26° - \sin(90° - 26°) = \sin 26° - \sin 64°$.

Функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $[0°; 90°]$. Поскольку угол $26°$ меньше, чем $64°$, то и значение синуса для этого угла будет меньше:

$\sin 26° < \sin 64°$.

Следовательно, разность $\sin 26° - \sin 64°$ отрицательна.

Ответ: знак минус (–).

2) $\cos 39° - \sin 44°$

Чтобы определить знак разности, приведем обе функции к одной, например, к синусу. Воспользуемся формулой приведения $\cos x = \sin(90° - x)$.

Преобразуем $\cos 39°$:

$\cos 39° = \sin(90° - 39°) = \sin 51°$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде: $\sin 51° - \sin 44°$.

Функция $y = \sin x$ возрастает на отрезке $[0°; 90°]$. Так как $51° > 44°$, то $\sin 51° > \sin 44°$.

Следовательно, разность $\sin 51° - \sin 44°$ положительна.

Ответ: знак плюс (+).

3) $\sin 64° - \cos 32°$

Для определения знака этой разности воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.

Представим $\sin 64°$ как $\sin(2 \cdot 32°)$:

$\sin 64° = 2 \sin 32° \cos 32°$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sin 64° - \cos 32° = 2 \sin 32° \cos 32° - \cos 32°$.

Вынесем общий множитель $\cos 32°$ за скобки:

$\cos 32° (2 \sin 32° - 1)$.

Теперь определим знаки каждого из множителей.

1. Угол $32°$ находится в первой четверти ($0° < 32° < 90°$), поэтому $\cos 32°$ имеет положительный знак.

2. Для определения знака второго множителя $(2 \sin 32° - 1)$, сравним $\sin 32°$ со значением $1/2$. Известно, что $\sin 30° = 1/2$. Так как функция $y = \sin x$ возрастает на промежутке $[0°; 90°]$ и $32° > 30°$, то $\sin 32° > \sin 30°$, то есть $\sin 32° > 1/2$. Отсюда следует, что $2 \sin 32° > 1$, а значит, выражение $2 \sin 32° - 1$ положительно.

Произведение двух положительных множителей ($\cos 32° > 0$ и $2 \sin 32° - 1 > 0$) является положительным числом.

Следовательно, $\sin 64° - \cos 32° > 0$.

Ответ: знак плюс (+).