gdz.top
Номер 165, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Периодические функции - номер 165, страница 81.
№164
№165 (с. 81)
Условие. №165 (с. 81)
165. Покажите, что число $T = \frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg} x$.
Решение. №165 (с. 81)
Согласно определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения этой функции ($D(f)$) выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. При этом точки $x+T$ и $x-T$ также должны принадлежать области определения $D(f)$.
Чтобы доказать, что число $T = \frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \text{tg}\,x$, достаточно найти хотя бы одно значение $x$ из области определения, для которого это условие не выполняется.
Рассмотрим в качестве такого значения $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит области определения функции $f(x) = \text{tg}\,x$, так как $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вычислим значение функции в этой точке:
$f(x) = f(\frac{\pi}{4}) = \text{tg}\,\frac{\pi}{4} = 1$.
Теперь вычислим значение функции в точке $x+T$:
$x+T = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi+2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Точка $x+T = \frac{3\pi}{4}$ также принадлежит области определения функции.
$f(x+T) = f(\frac{3\pi}{4}) = \text{tg}\,\frac{3\pi}{4} = -1$.
Сравним полученные значения:
$f(x+T) = -1$ и $f(x) = 1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, то равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется.
Это доказывает, что число $T = \frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \text{tg}\,x$.
Ответ: Поскольку, например, для $x=\frac{\pi}{4}$ равенство $f(x+T)=f(x)$ не выполняется, так как $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}) = \text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1 $, а $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $, то число $T=\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x)=\text{tg}\,x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 165 расположенного на странице 81 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №165 (с. 81), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.