Номер 160, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \operatorname{tg}^3 x;$

2) $f(x) = \operatorname{tg} x + \sin x;$

3) $f(x) = \frac{x \sin x}{2 + \cos x};$

4) $f(x) = \frac{x^5 + \operatorname{tg} x}{x^2 - 36};$

5) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{|x|-5};$

6) $f(x) = \frac{(1 - \sin x)(x + 1)}{x + 1};$

7) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}|x + 3|}{\operatorname{tg}|x - 3|}. $

1) $f(x) = \text{tg}^3x$

Область определения $D(f)$ функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \text{tg}^3(-x) = (\text{tg}(-x))^3$.

Так как тангенс — нечётная функция ($\text{tg}(-x) = -\text{tg}x$), то:

$f(-x) = (-\text{tg}x)^3 = -\text{tg}^3x = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

2) $f(x) = \text{tg}x + \sin x$

Область определения $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \text{tg}(-x) + \sin(-x)$.

Функции $\text{tg}x$ и $\sin x$ являются нечётными, поэтому $\text{tg}(-x) = -\text{tg}x$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = -\text{tg}x - \sin x = -(\text{tg}x + \sin x) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной (как сумма двух нечётных функций).

Ответ: нечётная.

3) $f(x) = \frac{x \sin x}{2 + \cos x}$

Область определения $D(f)$: знаменатель $2 + \cos x \neq 0$. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $1 \le 2 + \cos x \le 3$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$. Область определения симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{2 + \cos(-x)}$.

Используем свойства чётности: $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная) и $\cos(-x) = \cos x$ (чётная).

$f(-x) = \frac{(-x)(-\sin x)}{2 + \cos x} = \frac{x \sin x}{2 + \cos x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{x^5 + \text{tg}x}{x^2 - 36}$

Область определения $D(f)$: $x^2 - 36 \neq 0 \implies x \neq \pm 6$ и $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^5 + \text{tg}(-x)}{(-x)^2 - 36}$.

Учитывая, что $x^5$ и $\text{tg}x$ — нечётные функции, а $x^2$ — чётная:

$f(-x) = \frac{-x^5 - \text{tg}x}{x^2 - 36} = \frac{-(x^5 + \text{tg}x)}{x^2 - 36} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

5) $f(x) = \frac{\text{ctg}x}{|x| - 5}$

Область определения $D(f)$: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $|x| - 5 \neq 0 \implies |x| \neq 5 \implies x \neq \pm 5$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\text{ctg}(-x)}{|-x| - 5}$.

Функция $\text{ctg}x$ является нечётной ($\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}x$), а функция $|x|$ является чётной ($|-x| = |x|$).

$f(-x) = \frac{-\text{ctg}x}{|x| - 5} = - \frac{\text{ctg}x}{|x| - 5} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

6) $f(x) = \frac{(1 - \sin x)(x+1)}{x+1}$

Область определения $D(f)$: знаменатель $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет).

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

7) $f(x) = \frac{\text{tg}|x| + 3}{\text{tg}|x| - 3}$

Область определения $D(f)$: $\text{tg}|x| - 3 \neq 0 \implies \text{tg}|x| \neq 3$ и $\cos|x| \neq 0$. Поскольку $\cos|x| = \cos x$, то $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Условие $\text{tg}|x| \neq 3$ также задает симметричную область определения, так как если $x_0$ удовлетворяет ему, то и $-x_0$ удовлетворяет. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\text{tg}|-x| + 3}{\text{tg}|-x| - 3}$.

Так как $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = \frac{\text{tg}|x| + 3}{\text{tg}|x| - 3} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.