Номер 153, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = 4 - a$;

2) $\cos x = a^2 - 3a + 1$?

1) Для того чтобы равенство $\sin x = 4 - a$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения $4 - a$ находилось в области значений функции синус, то есть в промежутке $[-1, 1]$.

Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le 4 - a \le 1$

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-1 - 4 \le -a \le 1 - 4$

$-5 \le -a \le -3$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$5 \ge a \ge 3$

Это можно записать в более привычном виде:

$3 \le a \le 5$

Таким образом, равенство возможно при $a$, принадлежащем отрезку $[3, 5]$.

Ответ: $a \in [3, 5]$.

2) Для того чтобы равенство $\cos x = a^2 - 3a + 1$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения $a^2 - 3a + 1$ находилось в области значений функции косинус, то есть в промежутке $[-1, 1]$.

Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le a^2 - 3a + 1 \le 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 - 3a + 1 \ge -1 \\ a^2 - 3a + 1 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$a^2 - 3a + 2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$. Графиком функции $y = a^2 - 3a + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $a \le 1$ или $a \ge 2$. Решение: $a \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$a^2 - 3a + 1 \le 1$

$a^2 - 3a \le 0$

$a(a - 3) \le 0$

Корни уравнения $a(a - 3) = 0$ равны $a_1 = 0$ и $a_2 = 3$. Графиком функции $y = a^2 - 3a$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство выполняется между корнями, включая их: $0 \le a \le 3$. Решение: $a \in [0, 3]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $a \in ((-\infty, 1] \cup [2, \infty)) \cap [0, 3]$.

Пересечение дает нам два промежутка: $[0, 1]$ и $[2, 3]$.

Таким образом, равенство возможно при $a$, принадлежащем объединению отрезков $[0, 1]$ и $[2, 3]$.

Ответ: $a \in [0, 1] \cup [2, 3]$.