Номер 149, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Найдите значение выражения:

1) $8\cos 90^\circ - 7\cos 180^\circ + 3\sin 270^\circ$

2) $\sin \pi + 2\cos \pi + 5\text{tg}\ \pi$

3) $\sin 45^\circ \text{tg}\ 30^\circ \text{tg}\ 60^\circ$

4) $\frac{2\text{tg}\ \frac{\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{2}}{(\text{tg}\ \frac{\pi}{6} - \text{tg}\ 0)\cos \frac{\pi}{6}}$

5) $\sqrt{(2\cos 30^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\sin 60^\circ)^2}$

1) Найдем значение выражения $8\cos90^\circ - 7\cos180^\circ + 3\sin270^\circ$.

Для этого подставим известные значения тригонометрических функций углов:

$\cos90^\circ = 0$

$\cos180^\circ = -1$

$\sin270^\circ = -1$

Подставив эти значения в исходное выражение, получим:

$8 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) = 0 + 7 - 3 = 4$.

Ответ: 4

2) Найдем значение выражения $\sin\pi + 2\cos\pi + 5\tg\pi$.

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$\sin\pi = 0$

$\cos\pi = -1$

$\tg\pi = 0$

Подставив эти значения в исходное выражение, получим:

$0 + 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = -2$.

Ответ: -2

3) Найдем значение выражения $\sin45^\circ\tg30^\circ\tg60^\circ$.

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tg60^\circ = \sqrt{3}$

Подставив эти значения, получим произведение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) Найдем значение выражения $\frac{2\tg\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2}}{(\tg\frac{\pi}{6} - \tg0)\cos\frac{\pi}{6}}$.

Сначала найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение:

$\tg\frac{\pi}{4} = 1$

$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$

$\tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tg0 = 0$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь вычислим значение числителя:

$2\tg\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 1 - (-1) = 2 + 1 = 3$.

Далее вычислим значение знаменателя:

$(\tg\frac{\pi}{6} - \tg0)\cos\frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{3} - 0) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Найдем значение всей дроби:

$\frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6

5) Найдем значение выражения $\sqrt{(2\cos30^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\sin60^\circ)^2}$.

Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение примет вид:

$|2\cos30^\circ + 1| - |1 - 2\sin60^\circ|$.

Подставим табличные значения $\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$|2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1| - |1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}| = |\sqrt{3} + 1| - |1 - \sqrt{3}|$.

Оценим знаки выражений под модулем. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то:

$\sqrt{3} + 1 > 0$, следовательно $|\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$.

$1 - \sqrt{3} < 0$, следовательно $|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1 = 2$.

Ответ: 2