Страница 79 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Найдите значение выражения:

1) $8\cos 90^\circ - 7\cos 180^\circ + 3\sin 270^\circ$

2) $\sin \pi + 2\cos \pi + 5\text{tg}\ \pi$

3) $\sin 45^\circ \text{tg}\ 30^\circ \text{tg}\ 60^\circ$

4) $\frac{2\text{tg}\ \frac{\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{2}}{(\text{tg}\ \frac{\pi}{6} - \text{tg}\ 0)\cos \frac{\pi}{6}}$

5) $\sqrt{(2\cos 30^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\sin 60^\circ)^2}$

1) Найдем значение выражения $8\cos90^\circ - 7\cos180^\circ + 3\sin270^\circ$.

Для этого подставим известные значения тригонометрических функций углов:

$\cos90^\circ = 0$

$\cos180^\circ = -1$

$\sin270^\circ = -1$

Подставив эти значения в исходное выражение, получим:

$8 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) = 0 + 7 - 3 = 4$.

Ответ: 4

2) Найдем значение выражения $\sin\pi + 2\cos\pi + 5\tg\pi$.

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$\sin\pi = 0$

$\cos\pi = -1$

$\tg\pi = 0$

Подставив эти значения в исходное выражение, получим:

$0 + 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = -2$.

Ответ: -2

3) Найдем значение выражения $\sin45^\circ\tg30^\circ\tg60^\circ$.

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tg60^\circ = \sqrt{3}$

Подставив эти значения, получим произведение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) Найдем значение выражения $\frac{2\tg\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2}}{(\tg\frac{\pi}{6} - \tg0)\cos\frac{\pi}{6}}$.

Сначала найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение:

$\tg\frac{\pi}{4} = 1$

$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$

$\tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tg0 = 0$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь вычислим значение числителя:

$2\tg\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 1 - (-1) = 2 + 1 = 3$.

Далее вычислим значение знаменателя:

$(\tg\frac{\pi}{6} - \tg0)\cos\frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{3} - 0) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Найдем значение всей дроби:

$\frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6

5) Найдем значение выражения $\sqrt{(2\cos30^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\sin60^\circ)^2}$.

Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение примет вид:

$|2\cos30^\circ + 1| - |1 - 2\sin60^\circ|$.

Подставим табличные значения $\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$|2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1| - |1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}| = |\sqrt{3} + 1| - |1 - \sqrt{3}|$.

Оценим знаки выражений под модулем. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то:

$\sqrt{3} + 1 > 0$, следовательно $|\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$.

$1 - \sqrt{3} < 0$, следовательно $|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1 = 2$.

Ответ: 2

150. Найдите значение выражения $ \text{ctg}(\alpha + \beta)\text{tg}(\alpha - \beta) $

при:

1) $ \alpha = 45^\circ, \beta = 15^\circ; $

2) $ \alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = \frac{\pi}{6}. $

1)

Дано выражение $ctg(\alpha + \beta)tg(\alpha - \beta)$ и значения $\alpha = 45^{\circ}$, $\beta = 15^{\circ}$.

Сначала найдем значения суммы и разности углов:

$\alpha + \beta = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$

$\alpha - \beta = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ctg(60^{\circ})tg(30^{\circ})$

Найдем значения табличных тригонометрических функций:

$ctg(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$tg(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Перемножим полученные значения:

$ctg(60^{\circ})tg(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2)

Дано выражение $ctg(\alpha + \beta)tg(\alpha - \beta)$ и значения $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\beta = \frac{\pi}{6}$.

Сначала найдем значения суммы и разности углов:

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\alpha - \beta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ctg(\frac{\pi}{2})tg(\frac{\pi}{6})$

Найдем значения табличных тригонометрических функций:

$ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

$tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Перемножим полученные значения:

$ctg(\frac{\pi}{2})tg(\frac{\pi}{6}) = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$

Ответ: $0$

151. Возможно ли равенство:

1) $sin \alpha = -\frac{7}{8};$

2) $cos \alpha = \sqrt[4]{2};$

3) $cos \alpha = \frac{\pi}{4};$

4) $sin \alpha = 3 - \sqrt{2}?$

Для решения данной задачи необходимо использовать основное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса: их область значений лежит в пределах отрезка $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ всегда выполняются неравенства: $-1 \le \sin\alpha \le 1$ и $-1 \le \cos\alpha \le 1$. Если значение в правой части равенства не попадает в этот отрезок, то такое равенство невозможно.

1) $\sin\alpha = -\frac{7}{8}$

Проверим, принадлежит ли значение $-\frac{7}{8}$ отрезку $[-1, 1]$.
Поскольку $|-\frac{7}{8}| = \frac{7}{8}$, а $\frac{7}{8} < 1$, то $-1 < -\frac{7}{8} < 1$.
Данное значение находится в области значений функции синус, следовательно, равенство возможно.
Ответ: возможно.

2) $\cos\alpha = \sqrt[4]{2}$

Проверим, принадлежит ли значение $\sqrt[4]{2}$ отрезку $[-1, 1]$.
Так как $1^4 = 1$, а $2 > 1$, то $\sqrt[4]{2} > \sqrt[4]{1}$, что означает $\sqrt[4]{2} > 1$.
Данное значение не входит в область значений функции косинус, следовательно, равенство невозможно.
Ответ: невозможно.

3) $\cos\alpha = \frac{\pi}{4}$

Проверим, принадлежит ли значение $\frac{\pi}{4}$ отрезку $[-1, 1]$.
Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.
$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.
Так как $-1 \le 0.785 \le 1$, данное значение находится в области значений функции косинус, следовательно, равенство возможно.
Ответ: возможно.

4) $\sin\alpha = 3 - \sqrt{2}$

Проверим, принадлежит ли значение $3 - \sqrt{2}$ отрезку $[-1, 1]$.
Используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.
$3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.414 = 1.586$.
Так как $1.586 > 1$, данное значение не входит в область значений функции синус, следовательно, равенство невозможно.
Ответ: невозможно.

152. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $7 \cos \alpha - 3$;

2) $5 - \sin^2 \alpha$;

3) $\frac{\cos \alpha(5 + \sin \alpha)}{\cos \alpha}$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $7 \cos \alpha - 3$ необходимо использовать свойство ограниченности функции косинуса.

Область значений функции $y = \cos \alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos \alpha \le 1$

Чтобы найти наибольшее значение выражения, подставим наибольшее значение $\cos \alpha$, равное 1:

Наибольшее значение: $7 \cdot 1 - 3 = 7 - 3 = 4$.

Чтобы найти наименьшее значение выражения, подставим наименьшее значение $\cos \alpha$, равное -1:

Наименьшее значение: $7 \cdot (-1) - 3 = -7 - 3 = -10$.

Ответ: наибольшее значение равно 4, наименьшее значение равно -10.

2) Рассмотрим выражение $5 - \sin^2 \alpha$. Его значение зависит от значения $\sin^2 \alpha$.

Область значений функции $y = \sin \alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

При возведении в квадрат любого значения из этого отрезка, результат будет неотрицательным и не превзойдет 1. Таким образом, область значений для $\sin^2 \alpha$ — это отрезок $[0, 1]$:

$0 \le \sin^2 \alpha \le 1$

Наибольшее значение выражения $5 - \sin^2 \alpha$ достигается тогда, когда вычитаемое $\sin^2 \alpha$ минимально, то есть равно 0:

Наибольшее значение: $5 - 0 = 5$.

Наименьшее значение выражения достигается тогда, когда вычитаемое $\sin^2 \alpha$ максимально, то есть равно 1:

Наименьшее значение: $5 - 1 = 4$.

Ответ: наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно 4.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\cos \alpha(5 + \sin \alpha)}{\cos \alpha}$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $\cos \alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

При условии $\cos \alpha \neq 0$ мы можем сократить дробь на $\cos \alpha$. В результате выражение упрощается до:

$5 + \sin \alpha$

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения для этого упрощенного выражения. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Наибольшее значение выражения $5 + \sin \alpha$ достигается при наибольшем значении $\sin \alpha$, равном 1:

Наибольшее значение: $5 + 1 = 6$.

Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем значении $\sin \alpha$, равном -1:

Наименьшее значение: $5 + (-1) = 5 - 1 = 4$.

Следует отметить, что при $\sin \alpha = 1$ или $\sin \alpha = -1$, значение $\cos \alpha$ равно 0, что не входит в ОДЗ исходного выражения. Это означает, что значения 6 и 4 являются точными верхней и нижней границами множества значений выражения, но сами эти значения не достигаются. Однако в рамках стандартных задач под наибольшим и наименьшим значениями понимают именно эти граничные значения.

Ответ: наибольшее значение равно 6, наименьшее значение равно 4.

153. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = 4 - a$;

2) $\cos x = a^2 - 3a + 1$?

1) Для того чтобы равенство $\sin x = 4 - a$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения $4 - a$ находилось в области значений функции синус, то есть в промежутке $[-1, 1]$.

Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le 4 - a \le 1$

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-1 - 4 \le -a \le 1 - 4$

$-5 \le -a \le -3$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$5 \ge a \ge 3$

Это можно записать в более привычном виде:

$3 \le a \le 5$

Таким образом, равенство возможно при $a$, принадлежащем отрезку $[3, 5]$.

Ответ: $a \in [3, 5]$.

2) Для того чтобы равенство $\cos x = a^2 - 3a + 1$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения $a^2 - 3a + 1$ находилось в области значений функции косинус, то есть в промежутке $[-1, 1]$.

Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le a^2 - 3a + 1 \le 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 - 3a + 1 \ge -1 \\ a^2 - 3a + 1 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$a^2 - 3a + 2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$. Графиком функции $y = a^2 - 3a + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $a \le 1$ или $a \ge 2$. Решение: $a \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$a^2 - 3a + 1 \le 1$

$a^2 - 3a \le 0$

$a(a - 3) \le 0$

Корни уравнения $a(a - 3) = 0$ равны $a_1 = 0$ и $a_2 = 3$. Графиком функции $y = a^2 - 3a$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство выполняется между корнями, включая их: $0 \le a \le 3$. Решение: $a \in [0, 3]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $a \in ((-\infty, 1] \cup [2, \infty)) \cap [0, 3]$.

Пересечение дает нам два промежутка: $[0, 1]$ и $[2, 3]$.

Таким образом, равенство возможно при $a$, принадлежащем объединению отрезков $[0, 1]$ и $[2, 3]$.

Ответ: $a \in [0, 1] \cup [2, 3]$.

154. Найдите область значений выражения:

1) $\frac{1}{3 + \cos 2x}$;

2) $1 - 2|\sin 4x|$;

3) $\frac{1}{1 - \sin 3x}$;

4) $1 - \operatorname{ctg}^4 x$.

1) Чтобы найти область значений выражения $ \frac{1}{3 + \cos(2x)} $, сначала определим область значений знаменателя. Область значений функции косинус, $ \cos(2x) $, является отрезком $ [-1, 1] $. Следовательно, $ -1 \le \cos(2x) \le 1 $.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$ 3 - 1 \le 3 + \cos(2x) \le 3 + 1 $
$ 2 \le 3 + \cos(2x) \le 4 $
Знаменатель $ 3 + \cos(2x) $ принимает значения от 2 до 4 включительно. Так как знаменатель находится в диапазоне $ [2, 4] $, то значение всего выражения $ \frac{1}{3 + \cos(2x)} $ будет находиться в диапазоне от $ \frac{1}{4} $ (при наибольшем значении знаменателя) до $ \frac{1}{2} $ (при наименьшем значении знаменателя).
Таким образом, область значений выражения – это отрезок $ [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $.
Ответ: $ [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $.

2) Рассмотрим выражение $ 1 - 2|\sin(4x)| $. Область значений функции синус, $ \sin(4x) $, является отрезком $ [-1, 1] $. Для модуля синуса $ |\sin(4x)| $ область значений будет $ [0, 1] $, так как модуль всегда неотрицателен.
$ 0 \le |\sin(4x)| \le 1 $
Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ 0 \cdot (-2) \ge -2|\sin(4x)| \ge 1 \cdot (-2) $
$ 0 \ge -2|\sin(4x)| \ge -2 $, или, в привычном виде, $ -2 \le -2|\sin(4x)| \le 0 $.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$ 1 - 2 \le 1 - 2|\sin(4x)| \le 1 + 0 $
$ -1 \le 1 - 2|\sin(4x)| \le 1 $
Следовательно, область значений выражения – это отрезок $ [-1, 1] $.
Ответ: $ [-1, 1] $.

3) Для выражения $ \frac{1}{1 - \sin(3x)} $, сначала рассмотрим знаменатель. Область значений функции $ \sin(3x) $ – это отрезок $ [-1, 1] $. Знаменатель $ 1 - \sin(3x) $ не может быть равен нулю, поэтому $ \sin(3x) \ne 1 $. Таким образом, значения, которые принимает $ \sin(3x) $, лежат в полуинтервале $ [-1, 1) $.
Найдем диапазон значений знаменателя $ 1 - \sin(3x) $:
Наибольшее значение: $ 1 - (-1) = 2 $.
Наименьшее значение знаменатель не достигает, но стремится к $ 1 - 1 = 0 $ справа (т.е. остается положительным).
Таким образом, знаменатель $ 1 - \sin(3x) $ принимает значения из полуинтервала $ (0, 2] $.
Теперь найдем область значений всего выражения $ \frac{1}{1 - \sin(3x)} $:
Наименьшее значение дроби будет при наибольшем значении знаменателя: $ \frac{1}{2} $.
Когда знаменатель стремится к нулю, значение дроби стремится к $ +\infty $.
Следовательно, область значений выражения – это луч $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.
Ответ: $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.

4) Рассмотрим выражение $ 1 - \operatorname{ctg}^4 x $. Область значений функции котангенс, $ \operatorname{ctg} x $, – это все действительные числа, то есть $ (-\infty, +\infty) $.
При возведении в четвёртую степень $ \operatorname{ctg}^4 x $ все значения становятся неотрицательными. Минимальное значение будет 0 (когда $ \operatorname{ctg} x = 0 $), а максимальное значение не ограничено. Таким образом, область значений $ \operatorname{ctg}^4 x $ – это луч $ [0, +\infty) $.
$ 0 \le \operatorname{ctg}^4 x < +\infty $
Умножим на -1, изменив знаки неравенства:
$ 0 \ge -\operatorname{ctg}^4 x > -\infty $
Или, в привычном виде: $ -\infty < -\operatorname{ctg}^4 x \le 0 $.
Прибавим 1 ко всем частям:
$ -\infty + 1 < 1 - \operatorname{ctg}^4 x \le 0 + 1 $
$ -\infty < 1 - \operatorname{ctg}^4 x \le 1 $
Следовательно, область значений выражения – это луч $ (-\infty, 1] $.
Ответ: $ (-\infty, 1] $.

155. Какой знак имеет:

1) $\sin 230^\circ;$

2) $\cos 170^\circ;$

3) $\text{tg } 330^\circ;$

4) $\text{ctg } (-230^\circ);$

5) $\cos 3;$

6) $\sin \frac{13\pi}{8}?$

1) sin230°

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Углы от 0° до 90° находятся в I четверти, от 90° до 180° — во II, от 180° до 270° — в III, от 270° до 360° — в IV. Угол в 230° удовлетворяет неравенству $180° < 230° < 270°$. Следовательно, угол 230° находится в III четверти. В III четверти синус (ордината точки на единичной окружности) имеет отрицательный знак. Таким образом, $\sin 230° < 0$.

Ответ: минус.

2) cos170°

Угол в 170° удовлетворяет неравенству $90° < 170° < 180°$. Следовательно, угол 170° находится во II четверти. Во II четверти косинус (абсцисса точки на единичной окружности) имеет отрицательный знак. Таким образом, $\cos 170° < 0$.

Ответ: минус.

3) tg330°

Угол в 330° удовлетворяет неравенству $270° < 330° < 360°$. Следовательно, угол 330° находится в IV четверти. Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу. В IV четверти синус отрицателен, а косинус положителен, поэтому их отношение отрицательно. Таким образом, $\text{tg}\,330° < 0$.

Ответ: минус.

4) ctg(-230°)

Котангенс является нечетной функцией, то есть $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Следовательно, $\text{ctg}(-230°) = -\text{ctg}(230°)$. Теперь определим знак $\text{ctg}(230°)$. Угол 230° находится в III четверти ($180° < 230° < 270°$). В III четверти и синус, и косинус отрицательны, поэтому их отношение (котангенс) положительно: $\text{ctg}(230°) > 0$. Тогда $-\text{ctg}(230°) < 0$. Следовательно, $\text{ctg}(-230°)$ имеет отрицательный знак.

Ответ: минус.

5) cos3

Так как знак градуса отсутствует, угол задан в радианах. Чтобы определить четверть, сравним значение угла 3 с границами четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Так как $1.57 < 3 < 3.14159$, выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Следовательно, угол в 3 радиана находится во II четверти. Во II четверти косинус имеет отрицательный знак. Таким образом, $\cos 3 < 0$.

Ответ: минус.

6) sin(13π/8)

Угол задан в радианах. Для определения четверти представим ее границы в виде дробей со знаменателем 8: $\pi = \frac{8\pi}{8}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8}$, $2\pi = \frac{16\pi}{8}$. Сравниваем угол $\frac{13\pi}{8}$ с этими значениями. Очевидно, что $\frac{12\pi}{8} < \frac{13\pi}{8} < \frac{16\pi}{8}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \frac{13\pi}{8} < 2\pi$. Следовательно, угол $\frac{13\pi}{8}$ находится в IV четверти. В IV четверти синус имеет отрицательный знак. Таким образом, $\sin \frac{13\pi}{8} < 0$.

Ответ: минус.