Страница 78 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Найдите радианную меру угла, равно:

1) $12^\circ$;

2) $72^\circ$;

3) $165^\circ$;

4) $330^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула, основанная на соотношении $180° = \pi$ радиан. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно умножить значение угла в градусах на $\frac{\pi}{180°}$.

Формула для перевода: $R = D \cdot \frac{\pi}{180}$, где $R$ — радианная мера, а $D$ — градусная мера.

1) 12°

Применим формулу для угла $12°$:

$R = 12 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{12\pi}{180}$

Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 12:

$\frac{12\pi}{180} = \frac{(12 \div 12)\pi}{180 \div 12} = \frac{1\pi}{15} = \frac{\pi}{15}$

Ответ: $\frac{\pi}{15}$

2) 72°

Применим формулу для угла $72°$:

$R = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{72\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 72 и 180 равен 36:

$\frac{72\pi}{180} = \frac{(72 \div 36)\pi}{180 \div 36} = \frac{2\pi}{5}$

Ответ: $\frac{2\pi}{5}$

3) 165°

Применим формулу для угла $165°$:

$R = 165 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{165\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 165 и 180 равен 15:

$\frac{165\pi}{180} = \frac{(165 \div 15)\pi}{180 \div 15} = \frac{11\pi}{12}$

Ответ: $\frac{11\pi}{12}$

4) 330°

Применим формулу для угла $330°$:

$R = 330 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{330\pi}{180}$

Сократим дробь. Сначала можно сократить на 10, убрав нули. Затем сократим на 3. Общий наибольший делитель равен 30:

$\frac{330\pi}{180} = \frac{33\pi}{18} = \frac{(33 \div 3)\pi}{18 \div 3} = \frac{11\pi}{6}$

Ответ: $\frac{11\pi}{6}$

141. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{30}$;

2) $\frac{5\pi}{6}$;

3) $1\frac{3}{4}\pi$;

4) $5\pi$.

Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула, основанная на соотношении $\pi$ радиан = $180^{\circ}$. Формула для перевода выглядит так:
Градусная мера = Радианная мера $\cdot \frac{180^{\circ}}{\pi}$.

1)
Дана радианная мера угла $\frac{\pi}{30}$.
Чтобы найти градусную меру, умножим данное значение на $\frac{180^{\circ}}{\pi}$:
$\frac{\pi}{30} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180^{\circ}}{30} = 6^{\circ}$.
Ответ: $6^{\circ}$.

2)
Дана радианная мера угла $\frac{5\pi}{6}$.
Найдем градусную меру:
$\frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^{\circ}}{6} = 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
Ответ: $150^{\circ}$.

3)
Дана радианная мера угла $1\frac{3}{4}\pi$.
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi$.
Теперь найдем градусную меру:
$\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^{\circ}}{4} = 7 \cdot 45^{\circ} = 315^{\circ}$.
Ответ: $315^{\circ}$.

4)
Дана радианная мера угла $5\pi$.
Найдем градусную меру:
$5\pi \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 5 \cdot 180^{\circ} = 900^{\circ}$.
Ответ: $900^{\circ}$.

142. Радиус окружности равен 2 см. Чему равна длина дуги окружности, радианная мера которой составляет:

1) $ \frac{\pi}{6} $;

2) $ \frac{11\pi}{9} $;

3) 5?

Для нахождения длины дуги окружности используется формула $L = \alpha \cdot R$, где $L$ – длина дуги, $\alpha$ – радианная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу, а $R$ – радиус окружности.

По условию задачи, радиус окружности $R = 2$ см.

1)

Дана радианная мера дуги $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Подставим известные значения в формулу:

$L = \frac{\pi}{6} \cdot 2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$ см.

2)

Дана радианная мера дуги $\alpha = \frac{11\pi}{9}$.

Подставим известные значения в формулу:

$L = \frac{11\pi}{9} \cdot 2 = \frac{22\pi}{9}$ см.

Ответ: $\frac{22\pi}{9}$ см.

3)

Дана радианная мера дуги $\alpha = 5$.

Подставим известные значения в формулу:

$L = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

143. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $283^\circ$;

2) $-215^\circ$;

3) $420^\circ$;

4) $-53^\circ$;

5) $\frac{\pi}{9}$;

6) $\frac{11\pi}{18}$;

7) $-\frac{4\pi}{3}$;

8) $-2,1\pi$;

9) $3$;

10) $-4$?

Для определения координатной четверти, в которой находится точка на единичной окружности после поворота на заданный угол, необходимо сравнить этот угол с границами четвертей. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная от положительного направления оси Ox.
I четверть: от $0°$ до $90°$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
II четверть: от $90°$ до $180°$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
III четверть: от $180°$ до $270°$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
IV четверть: от $270°$ до $360°$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)
Для углов, выходящих за пределы от $0°$ до $360°$ (или от $0$ до $2\pi$), необходимо найти соответствующий им угол в этом диапазоне путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($360°$ или $2\pi$ радиан). Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.

1) 283°
Угол $283°$ находится в промежутке между $270°$ и $360°$.
Так как $270° < 283° < 360°$, точка находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

2) -215°
Угол $-215°$ является отрицательным. Чтобы найти соответствующий ему положительный угол, прибавим $360°$:
$-215° + 360° = 145°$.
Угол $145°$ находится в промежутке между $90°$ и $180°$.
Так как $90° < 145° < 180°$, точка находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

3) 420°
Угол $420°$ больше $360°$. Чтобы найти угол в пределах одного оборота, вычтем $360°$:
$420° - 360° = 60°$.
Угол $60°$ находится в промежутке между $0°$ и $90°$.
Так как $0° < 60° < 90°$, точка находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

4) -53°
Угол $-53°$ является отрицательным. Прибавим $360°$, чтобы найти соответствующий положительный угол:
$-53° + 360° = 307°$.
Угол $307°$ находится в промежутке между $270°$ и $360°$.
Так как $270° < 307° < 360°$, точка находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

5) $\frac{\pi}{9}$
Угол задан в радианах. Сравним его с границами четвертей в радианах.
I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.
Так как $0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{1}{9} < \frac{1}{2}$), точка находится в I четверти.
Можно также перевести в градусы: $\frac{\pi}{9} = \frac{180°}{9} = 20°$, что очевидно является углом I четверти.
Ответ: I четверть.

6) $\frac{11\pi}{18}$
Угол задан в радианах. Сравним его с границами четвертей: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{18}$ и $\pi = \frac{18\pi}{18}$.
Так как $\frac{9\pi}{18} < \frac{11\pi}{18} < \frac{18\pi}{18}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{11\pi}{18} < \pi$, точка находится во II четверти.
В градусах: $\frac{11\pi}{18} = \frac{11 \cdot 180°}{18} = 11 \cdot 10° = 110°$. Угол $110°$ находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

7) $-\frac{4\pi}{3}$
Угол отрицательный. Чтобы найти соответствующий положительный угол, прибавим $2\pi$:
$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Теперь определим четверть для угла $\frac{2\pi}{3}$. Сравним с границами $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$:
$\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$ (поскольку $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1$).
Следовательно, точка находится во II четверти.
В градусах: $\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \cdot 180°}{3} = 120°$, что является углом II четверти.
Ответ: II четверть.

8) -2,1$\pi$
Угол $-2,1\pi$ является отрицательным. Прибавим $4\pi$ (два полных оборота), чтобы получить положительный угол в пределах от $0$ до $2\pi$:
$-2,1\pi + 4\pi = 1,9\pi$.
Сравним $1,9\pi$ с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$ и $2\pi$.
Так как $1,5\pi < 1,9\pi < 2\pi$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 1,9\pi < 2\pi$, точка находится в IV четверти.
Другой способ: $-2,1\pi = -2\pi - 0,1\pi$. Поворот на $-2\pi$ возвращает точку в исходное положение, а последующий поворот на $-0,1\pi$ (по часовой стрелке) помещает ее в IV четверть.
Ответ: IV четверть.

9) 3
Угол равен 3 радианам. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.
Границы четвертей в радианах: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14159$.
Сравниваем угол 3 с этими значениями: $1,57 < 3 < 3,14159$.
Следовательно, $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, и точка находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

10) -4
Угол равен -4 радианам. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi$ (один полный оборот):
$-4 + 2\pi \approx -4 + 2 \cdot 3,14159 = -4 + 6,28318 = 2,28318$.
Сравним полученное значение с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$.
Так как $1,57 < 2,28318 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < -4 + 2\pi < \pi$, точка находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

144. Углы треугольника относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите радианные меры его углов.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно условию, их отношение равно $3:5:7$. Это можно записать как:

$\alpha = 3x$

$\beta = 5x$

$\gamma = 7x$

где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, что в радианной мере составляет $\pi$ радиан. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Подставим значения углов через $x$:

$3x + 5x + 7x = \pi$

$15x = \pi$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{\pi}{15}$

Теперь найдем радианные меры каждого угла, подставив значение $x$:

Первый угол: $\alpha = 3x = 3 \cdot \frac{\pi}{15} = \frac{3\pi}{15} = \frac{\pi}{5}$ радиан.

Второй угол: $\beta = 5x = 5 \cdot \frac{\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Третий угол: $\gamma = 7x = 7 \cdot \frac{\pi}{15} = \frac{7\pi}{15}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{15}$.

145. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точку $P_0 (0; 1)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(1; 0)$;

2) $(-1; 0)$;

3) $(0; -1)$;

4) $(0; 1)$.

Исходная точка $P_0(0; 1)$ находится на единичной окружности и соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан. Поворот на положительный угол происходит против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке. Наибольший отрицательный угол — это тот, что имеет наименьшую абсолютную величину (ближе всего к нулю).

1) (1; 0)

Конечная точка $(1; 0)$ соответствует углу $0$ радиан (или, что то же самое для положения, $2\pi$ радиан).
Чтобы найти наименьший положительный угол, мы поворачиваем точку $P_0$ против часовой стрелки от угла $\frac{\pi}{2}$ до угла $2\pi$. Угол поворота равен $2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Чтобы найти наибольший отрицательный угол, мы поворачиваем точку $P_0$ по часовой стрелке от угла $\frac{\pi}{2}$ до угла $0$. Угол поворота равен $0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол: $\frac{3\pi}{2}$; наибольший отрицательный угол: $-\frac{\pi}{2}$.

2) (-1; 0)

Конечная точка $(-1; 0)$ соответствует углу $\pi$ радиан.
Наименьший положительный угол (против часовой стрелки) от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ равен $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Наибольший отрицательный угол (по часовой стрелке) — это поворот на оставшуюся часть окружности в отрицательном направлении. Так как положительный поворот составляет $\frac{\pi}{2}$, то отрицательный поворот равен $-(2\pi - \frac{\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол: $\frac{\pi}{2}$; наибольший отрицательный угол: $-\frac{3\pi}{2}$.

3) (0; -1)

Конечная точка $(0; -1)$ соответствует углу $\frac{3\pi}{2}$ радиан.
Наименьший положительный угол (против часовой стрелки) от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ равен $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi$.
Наибольший отрицательный угол (по часовой стрелке) — это поворот на оставшуюся часть окружности. Так как положительный поворот составляет $\pi$, то отрицательный поворот равен $-(2\pi - \pi) = -\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол: $\pi$; наибольший отрицательный угол: $-\pi$.

4) (0; 1)

Конечная точка $(0; 1)$ совпадает с начальной.
Чтобы вернуться в ту же точку, совершив положительный поворот, нужно сделать полный оборот против часовой стрелки. Наименьший такой угол равен $2\pi$.
Чтобы вернуться в ту же точку, совершив отрицательный поворот, нужно сделать полный оборот по часовой стрелке. Наибольший такой угол (ближайший к нулю) равен $-2\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол: $2\pi$; наибольший отрицательный угол: $-2\pi$.

146. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку

$P_0 (0; -1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

2) $P_2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

1)

Данная задача рассматривается на единичной окружности. Начальная точка $P_0(0; -1)$ соответствует углу $\alpha_0 = -\frac{\pi}{2}$ (или $270^\circ$), так как $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

Конечная точка $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $\alpha_1 = -\frac{\pi}{4}$ (или $315^\circ$), так как $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Чтобы найти угол поворота $\theta_1$, нужно из конечного угла вычесть начальный: $\theta_1 = \alpha_1 - \alpha_0 = -\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Это один из возможных углов поворота. Поскольку поворот на $2\pi$ (или $360^\circ$) возвращает точку в то же положение, то все возможные углы поворота можно найти, прибавив к найденному углу целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число).

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Начальная точка та же: $P_0(0; -1)$, что соответствует углу $\alpha_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Конечная точка $P_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Для этой точки $\cos(\alpha_2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\alpha_2) = \frac{1}{2}$. Это соответствует углу $\alpha_2 = \frac{5\pi}{6}$ (или $150^\circ$), который находится во второй четверти.

Найдём угол поворота $\theta_2$ как разность между конечным и начальным углами: $\theta_2 = \alpha_2 - \alpha_0 = \frac{5\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$.

Общее решение для всех углов поворота, учитывающее полные обороты, записывается в виде: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

147. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

1) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k;$

3) $-\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z};$

2) $\frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbf{Z};$

4) $\frac{\pi k}{6}, k \in \mathbf{Z}.$

Координаты точки $P_α(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом точки $P_0(1; 0)$ на угол $α$, находятся по формулам: $x = \cos α$ и $y = \sin α$.

1) Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $α = -\frac{π}{6} + 2πk, k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $2πk$ означает целое число полных оборотов, поэтому положение точки на окружности определяется углом $α = -\frac{π}{6}$.
$x = \cos(-\frac{π}{6}) = \cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(-\frac{π}{6}) = -\sin(\frac{π}{6}) = -\frac{1}{2}$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

2) Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $α = \frac{2π}{3} + 4πk, k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $4πk = 2 \cdot (2πk)$ означает целое число двойных полных оборотов, поэтому положение точки определяется углом $α = \frac{2π}{3}$.
$x = \cos(\frac{2π}{3}) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{2π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) Найдем координаты точек, полученных при повороте на угол $α = -\frac{π}{2} + πk, k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $πk$ означает, что точки будут повторяться через каждые пол-оборота (180°). Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Если $k$ — четное число (например, $k = 2n, n \in \mathbb{Z}$), то $α = -\frac{π}{2} + 2πn$. Положение точки определяется углом $-\frac{π}{2}$.
$x = \cos(-\frac{π}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{π}{2}) = -1$
Получаем точку $(0; -1)$.
Если $k$ — нечетное число (например, $k = 2n + 1, n \in \mathbb{Z}$), то $α = -\frac{π}{2} + π(2n + 1) = -\frac{π}{2} + 2πn + π = \frac{π}{2} + 2πn$. Положение точки определяется углом $\frac{π}{2}$.
$x = \cos(\frac{π}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{π}{2}) = 1$
Получаем точку $(0; 1)$.
Таким образом, мы имеем две различные точки.
Ответ: $(0; -1)$ и $(0; 1)$.

4) Найдем координаты точек, полученных при повороте на угол $α = \frac{πk}{6}, k \in \mathbb{Z}$. Поскольку период тригонометрических функций синус и косинус равен $2π$, положения точек на окружности будут циклически повторяться. Найдем, при каком значении $k$ произойдет полный оборот: $\frac{πk}{6} = 2π$, откуда $k = 12$. Следовательно, существует 12 различных точек, соответствующих значениям $k$ от 0 до 11. Перечислим их координаты:
При $k=0$: $α=0$. Точка $(\cos(0); \sin(0)) = (1; 0)$.
При $k=1$: $α=\frac{π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{π}{6}); \sin(\frac{π}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.
При $k=2$: $α=\frac{2π}{6}=\frac{π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{π}{3}); \sin(\frac{π}{3})) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=3$: $α=\frac{3π}{6}=\frac{π}{2}$. Точка $(\cos(\frac{π}{2}); \sin(\frac{π}{2})) = (0; 1)$.
При $k=4$: $α=\frac{4π}{6}=\frac{2π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{2π}{3}); \sin(\frac{2π}{3})) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=5$: $α=\frac{5π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{5π}{6}); \sin(\frac{5π}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.
При $k=6$: $α=\frac{6π}{6}=π$. Точка $(\cos(π); \sin(π)) = (-1; 0)$.
При $k=7$: $α=\frac{7π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{7π}{6}); \sin(\frac{7π}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.
При $k=8$: $α=\frac{8π}{6}=\frac{4π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{4π}{3}); \sin(\frac{4π}{3})) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=9$: $α=\frac{9π}{6}=\frac{3π}{2}$. Точка $(\cos(\frac{3π}{2}); \sin(\frac{3π}{2})) = (0; -1)$.
При $k=10$: $α=\frac{10π}{6}=\frac{5π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{5π}{3}); \sin(\frac{5π}{3})) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=11$: $α=\frac{11π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{11π}{6}); \sin(\frac{11π}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0; 1)$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0; -1)$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

148. Найдите площадь сектора круга радиуса 8 см, если радианная мера дуги, соответствующей этому сектору, составляет:

1) $ \frac{3\pi}{4} $;

2) $ \frac{7\pi}{6} $;

3) $ \frac{11\pi}{9} $;

4) $ 3 $.

Для нахождения площади сектора круга, когда угол задан в радианах, используется формула:

$S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$

где $S$ — площадь сектора, $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — радианная мера дуги (центрального угла), соответствующей этому сектору.

По условию задачи, радиус круга $R = 8$ см.

1)

Найдем площадь сектора для радианной меры дуги $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{3\pi}{4} = 32 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{32 \cdot 3\pi}{4} = 8 \cdot 3\pi = 24\pi$ (см²).

Ответ: $24\pi$ см².

2)

Найдем площадь сектора для радианной меры дуги $\alpha = \frac{7\pi}{6}$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{7\pi}{6} = 32 \cdot \frac{7\pi}{6} = \frac{16 \cdot 7\pi}{3} = \frac{112\pi}{3}$ (см²).

Ответ: $\frac{112\pi}{3}$ см².

3)

Найдем площадь сектора для радианной меры дуги $\alpha = \frac{11\pi}{9}$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{11\pi}{9} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{11\pi}{9} = 32 \cdot \frac{11\pi}{9} = \frac{352\pi}{9}$ (см²).

Ответ: $\frac{352\pi}{9}$ см².

4)

Найдем площадь сектора для радианной меры дуги $\alpha = 3$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$ (см²).

Ответ: $96$ см².