Страница 84 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Упростите выражение:

1) $3\sin^2 \alpha - 3;$

2) $2 - \cos^2 \frac{x}{5} - \sin^2 \frac{x}{5};$

3) $(\sin 5\beta - 1)(\sin 5\beta + 1);$

4) $4 - \frac{4}{\sin^2 4\gamma};$

5) $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta};$

6) $\text{ctg}^2 2\alpha + \text{tg } 6\alpha \text{ ctg } 6\alpha;$

7) $\frac{\text{ctg } 3x \sin 3x}{1 + \text{tg}^2 3x};$

8) $\cos^2 4\alpha(\text{tg } 4\alpha + \text{ctg } 4\alpha);$

9) $(\cos 5\beta + \sin 5\beta)^2 + (\sin 5\beta - \cos 5\beta)^2;$

10) $\frac{1 + \text{ctg}^2 2\alpha(\cos^2 2\alpha - 1)}{\sin^2 2\alpha}.$

1) $3\sin^2 \alpha - 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3\sin^2 \alpha - 3 = 3(\sin^2 \alpha - 1)$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.

Подставим это в выражение:

$3(-\cos^2 \alpha) = -3\cos^2 \alpha$

Ответ: $-3\cos^2 \alpha$.

2) $2 - \cos^2 \frac{x}{5} - \sin^2 \frac{x}{5}$

Вынесем знак минус за скобки у второго и третьего слагаемых:

$2 - (\cos^2 \frac{x}{5} + \sin^2 \frac{x}{5})$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, где $\theta = \frac{x}{5}$:

$2 - 1 = 1$

Ответ: $1$.

3) $(\sin 5\beta - 1)(\sin 5\beta + 1)$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sin 5\beta$ и $b=1$:

$(\sin 5\beta)^2 - 1^2 = \sin^2 5\beta - 1$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ следует, что $\sin^2 \theta - 1 = -\cos^2 \theta$.

$\sin^2 5\beta - 1 = -\cos^2 5\beta$

Ответ: $-\cos^2 5\beta$.

4) $4 - \frac{4}{\sin^2 4\gamma}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4(1 - \frac{1}{\sin^2 4\gamma})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$4(\frac{\sin^2 4\gamma - 1}{\sin^2 4\gamma})$

Используя тождество $\sin^2 \theta - 1 = -\cos^2 \theta$, заменим числитель:

$4(\frac{-\cos^2 4\gamma}{\sin^2 4\gamma})$

Так как $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \mathrm{ctg} \theta$, то $\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \mathrm{ctg}^2 \theta$.

$4(-\mathrm{ctg}^2 4\gamma) = -4\mathrm{ctg}^2 4\gamma$

Ответ: $-4\mathrm{ctg}^2 4\gamma$.

5) $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$

Первые два слагаемых, согласно основному тригонометрическому тождеству, дают в сумме 1:

$\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} = 1$

Выражение упрощается до:

$1 - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin^2 5\beta - 1}{\sin^2 5\beta} = \frac{-\cos^2 5\beta}{\sin^2 5\beta} = -\mathrm{ctg}^2 5\beta$

Ответ: $-\mathrm{ctg}^2 5\beta$.

6) $\mathrm{ctg}^2 2\alpha + \mathrm{tg} 6\alpha \mathrm{ctg} 6\alpha$

Используем тождество $\mathrm{tg} \theta \cdot \mathrm{ctg} \theta = 1$:

$\mathrm{tg} 6\alpha \mathrm{ctg} 6\alpha = 1$

Выражение принимает вид:

$\mathrm{ctg}^2 2\alpha + 1$

Используем тождество $1 + \mathrm{ctg}^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta}$:

$1 + \mathrm{ctg}^2 2\alpha = \frac{1}{\sin^2 2\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 2\alpha}$.

7) $\frac{\mathrm{ctg} 3x \sin 3x}{1 + \mathrm{tg}^2 3x}$

Упростим числитель, используя определение котангенса $\mathrm{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$:

$\mathrm{ctg} 3x \sin 3x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} \cdot \sin 3x = \cos 3x$

Упростим знаменатель, используя тождество $1 + \mathrm{tg}^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$:

$1 + \mathrm{tg}^2 3x = \frac{1}{\cos^2 3x}$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\frac{\cos 3x}{\frac{1}{\cos^2 3x}} = \cos 3x \cdot \cos^2 3x = \cos^3 3x$

Ответ: $\cos^3 3x$.

8) $\cos^2 4\alpha(\mathrm{tg} 4\alpha + \mathrm{ctg} 4\alpha)$

Преобразуем выражение в скобках, представив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\mathrm{tg} 4\alpha + \mathrm{ctg} 4\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} + \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}$

Так как $\sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha = 1$, выражение в скобках равно $\frac{1}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\cos^2 4\alpha \cdot \frac{1}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha} = \frac{\cos^2 4\alpha}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \mathrm{ctg} 4\alpha$

Ответ: $\mathrm{ctg} 4\alpha$.

9) $(\cos 5\beta + \sin 5\beta)^2 + (\sin 5\beta - \cos 5\beta)^2$

Раскроем квадраты, используя формулы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(\cos^2 5\beta + 2\cos 5\beta \sin 5\beta + \sin^2 5\beta) + (\sin^2 5\beta - 2\sin 5\beta \cos 5\beta + \cos^2 5\beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos^2 5\beta + \sin^2 5\beta) + (\sin^2 5\beta + \cos^2 5\beta) + 2\sin 5\beta \cos 5\beta - 2\sin 5\beta \cos 5\beta$

Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ и сокращаем подобные слагаемые:

$1 + 1 + 0 = 2$

Ответ: $2$.

10) $\frac{1 + \mathrm{ctg}^2 2\alpha(\cos^2 2\alpha - 1)}{\sin^2 2\alpha}$

Сначала упростим выражение в скобках в числителе: $\cos^2 2\alpha - 1 = -\sin^2 2\alpha$.

Теперь преобразуем произведение в числителе:

$\mathrm{ctg}^2 2\alpha \cdot (\cos^2 2\alpha - 1) = \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} \cdot (-\sin^2 2\alpha) = -\cos^2 2\alpha$

Подставим это в числитель:

$1 + (-\cos^2 2\alpha) = 1 - \cos^2 2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем $1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.

Теперь все выражение имеет вид:

$\frac{\sin^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} = 1$

Ответ: $1$.

181. Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\cos\alpha = -\frac{1}{5}$ и $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5};$

2) $\text{tg}\alpha = 20$ и $\text{ctg}\alpha = -0,05;$

3) $\sin\alpha = \frac{1}{6}$ и $\text{ctg}\alpha = -\sqrt{35}?$

1) Для проверки используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2α + cos^2α = 1$.
Подставим данные значения в формулу:
$sin^2α + cos^2α = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 + \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} + \frac{1}{25} = \frac{24}{25} + \frac{1}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Поскольку тождество выполняется, данные равенства могут выполняться одновременно. Угол $α$ находится во второй четверти, так как $sin α > 0$ и $cos α < 0$.
Ответ: да, могут.

2) Для проверки используем тождество: $tgα \cdot ctgα = 1$.
Подставим данные значения:
$20 \cdot (-0,05) = 20 \cdot \left(-\frac{5}{100}\right) = 20 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right) = -1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, тождество не выполняется. Кроме того, тангенс и котангенс одного и того же угла всегда имеют одинаковые знаки, а в данном случае $tgα > 0$, а $ctgα < 0$. Следовательно, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: нет, не могут.

3) Для проверки используем тождество: $1 + ctg^2α = \frac{1}{sin^2α}$.
Сначала проверим знаки. Если $sin α > 0$, то угол находится в I или II четверти. Если $ctg α < 0$, то угол находится во II или IV четверти. Следовательно, угол $α$ должен находиться во II четверти, что возможно.
Теперь подставим данные значения в тождество.
Левая часть: $1 + ctg^2α = 1 + (-\sqrt{35})^2 = 1 + 35 = 36$.
Правая часть: $\frac{1}{sin^2α} = \frac{1}{(\frac{1}{6})^2} = \frac{1}{\frac{1}{36}} = 36$.
Поскольку левая и правая части равны ($36=36$), тождество выполняется. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно.
Ответ: да, могут.

182. Вычислите значения тригонометрических функций угла β, если:

1) $ \cos\beta = \frac{3}{4} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $;

2) $ \operatorname{tg}\beta = -3 $ и $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.

1) Дано: $cos\beta = \frac{3}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.

Угол $\beta$ находится в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс — отрицательны.

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$

$sin^2\beta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}$

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, его синус отрицателен, поэтому:

$sin\beta = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

Теперь вычислим тангенс и котангенс:

$tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta} = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

$ctg\beta = \frac{1}{tg\beta} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{7}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Ответ: $sin\beta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$, $tg\beta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$, $ctg\beta = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

2) Дано: $tg\beta = -3$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Угол $\beta$ находится во II четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательны.

Сначала найдем котангенс:

$ctg\beta = \frac{1}{tg\beta} = -\frac{1}{3}$

Для нахождения косинуса воспользуемся тождеством $1 + tg^2\beta = \frac{1}{cos^2\beta}$.

$\frac{1}{cos^2\beta} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$

$cos^2\beta = \frac{1}{10}$

Поскольку угол $\beta$ находится во II четверти, его косинус отрицателен, поэтому:

$cos\beta = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

Теперь найдем синус, используя определение тангенса $tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta}$, откуда $sin\beta = tg\beta \cdot cos\beta$.

$sin\beta = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Во II четверти синус положителен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $sin\beta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $cos\beta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $ctg\beta = -\frac{1}{3}$.

183. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 6\alpha + \sin^3 (-6\alpha)}{1 + \sin 6\alpha \cos(-6\alpha)} = \cos 6\alpha - \sin 6\alpha;$

2) $\cos^4 3\beta - \sin^4 (-3\beta) - 2\cos^2 3\beta = -1;$

3) $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} + \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha};$

4) $\cos^6 2x + \sin^6 2x + \sin^2 2x \cos^2 2x = \cos^4 2x + \sin^4 2x;$

5) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2\operatorname{ctg}^2 \alpha;$

6) $\frac{1 + \sqrt{10} \cos \alpha}{\sqrt{10} \sin \alpha + 3} = \frac{\sqrt{10} \sin \alpha - 3}{1 - \sqrt{10} \cos \alpha};$

7) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \beta - \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \beta \operatorname{ctg} \alpha.$

1)

Преобразуем левую часть тождества. Используем свойства нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$.

$\frac{\cos^3 6\alpha + \sin^3(-6\alpha)}{1 + \sin 6\alpha \cos(-6\alpha)} = \frac{\cos^3 6\alpha - \sin^3 6\alpha}{1 + \sin 6\alpha \cos 6\alpha}$

Применим в числителе формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\cos^3 6\alpha - \sin^3 6\alpha = (\cos 6\alpha - \sin 6\alpha)(\cos^2 6\alpha + \cos 6\alpha \sin 6\alpha + \sin^2 6\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим выражение во вторых скобках:

$\cos^2 6\alpha + \sin^2 6\alpha + \cos 6\alpha \sin 6\alpha = 1 + \cos 6\alpha \sin 6\alpha$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(\cos 6\alpha - \sin 6\alpha)(1 + \sin 6\alpha \cos 6\alpha)}{1 + \sin 6\alpha \cos 6\alpha} = \cos 6\alpha - \sin 6\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Так как синус - функция нечетная, $\sin(-3\beta) = -\sin(3\beta)$, то $\sin^4(-3\beta) = (-\sin(3\beta))^4 = \sin^4(3\beta)$.

Выражение принимает вид: $\cos^4 3\beta - \sin^4 3\beta - 2\cos^2 3\beta$.

Разложим разность четвертых степеней по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\cos^4 3\beta - \sin^4 3\beta = (\cos^2 3\beta - \sin^2 3\beta)(\cos^2 3\beta + \sin^2 3\beta)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$, получаем:

$(\cos(2 \cdot 3\beta)) \cdot 1 = \cos(6\beta)$

Подставим это обратно в выражение:

$\cos(6\beta) - 2\cos^2 3\beta$

Снова используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, где $x=3\beta$:

$\cos(6\beta) = 2\cos^2 3\beta - 1$

Выражение становится: $(2\cos^2 3\beta - 1) - 2\cos^2 3\beta = -1$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(1-\cos\alpha)\sin\alpha$:

$\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} + \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + (1-\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}{(1-\cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1-\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\sin\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\sin^2\alpha + 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 - 2\cos\alpha = 1 + 1 - 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha = 2(1-\cos\alpha)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{2(1-\cos\alpha)}{(1-\cos\alpha)\sin\alpha}$

Сократим дробь на $(1-\cos\alpha)$:

$\frac{2}{\sin\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первые два слагаемых:

$\cos^6 2x + \sin^6 2x + \sin^2 2x \cos^2 2x$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \cos^2 2x$ и $b = \sin^2 2x$. Заметим, что $a+b = \cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$.

$\cos^6 2x + \sin^6 2x = (\cos^2 2x + \sin^2 2x)(\cos^4 2x - \cos^2 2x \sin^2 2x + \sin^4 2x) = 1 \cdot (\cos^4 2x - \cos^2 2x \sin^2 2x + \sin^4 2x)$

Подставим это в левую часть исходного равенства:

$(\cos^4 2x - \cos^2 2x \sin^2 2x + \sin^4 2x) + \sin^2 2x \cos^2 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$\cos^4 2x + \sin^4 2x$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим числитель:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) - 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha) - 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Теперь упростим знаменатель:

$\tan\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha\cos\alpha$

Вынесем $\sin\alpha$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$\sin\alpha (\frac{1}{\cos\alpha} - \cos\alpha) = \sin\alpha (\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos\alpha})$

Используя тождество $1-\cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, получаем:

$\sin\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}} = 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Так как $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, то $\frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2\cot^2\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Данное тождество является пропорцией $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, которая верна, если $ad = bc$.

Проверим равенство произведений крайних и средних членов:

$(1+\sqrt{10}\cos\alpha)(1-\sqrt{10}\cos\alpha) = (\sqrt{10}\sin\alpha+3)(\sqrt{10}\sin\alpha-3)$

Преобразуем левую часть по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:

$1^2 - (\sqrt{10}\cos\alpha)^2 = 1 - 10\cos^2\alpha$

Преобразуем правую часть по той же формуле:

$(\sqrt{10}\sin\alpha)^2 - 3^2 = 10\sin^2\alpha - 9$

Теперь докажем, что $1 - 10\cos^2\alpha = 10\sin^2\alpha - 9$.

Преобразуем правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$10(1 - \cos^2\alpha) - 9 = 10 - 10\cos^2\alpha - 9 = 1 - 10\cos^2\alpha$

Получили, что левая и правая части равны: $1 - 10\cos^2\alpha = 1 - 10\cos^2\alpha$.

Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

7)

Преобразуем левую часть тождества. В числителе вынесем за скобки $\cot\alpha$, а в знаменателе $\cot\beta$:

$\frac{\cot\alpha - \tan\beta}{\cot\beta - \tan\alpha} = \frac{\cot\alpha(1 - \frac{\tan\beta}{\cot\alpha})}{\cot\beta(1 - \frac{\tan\alpha}{\cot\beta})}$

Упростим выражения в скобках, используя то, что $\frac{1}{\cot x} = \tan x$:

$\frac{\tan\beta}{\cot\alpha} = \tan\beta \tan\alpha$

$\frac{\tan\alpha}{\cot\beta} = \tan\alpha \tan\beta$

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{\cot\alpha(1 - \tan\alpha \tan\beta)}{\cot\beta(1 - \tan\alpha \tan\beta)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - \tan\alpha \tan\beta)$:

$\frac{\cot\alpha}{\cot\beta} = \cot\alpha \cdot \frac{1}{\cot\beta} = \cot\alpha \tan\beta$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.