Номер 180, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Упростите выражение:

1) $3\sin^2 \alpha - 3;$

2) $2 - \cos^2 \frac{x}{5} - \sin^2 \frac{x}{5};$

3) $(\sin 5\beta - 1)(\sin 5\beta + 1);$

4) $4 - \frac{4}{\sin^2 4\gamma};$

5) $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta};$

6) $\text{ctg}^2 2\alpha + \text{tg } 6\alpha \text{ ctg } 6\alpha;$

7) $\frac{\text{ctg } 3x \sin 3x}{1 + \text{tg}^2 3x};$

8) $\cos^2 4\alpha(\text{tg } 4\alpha + \text{ctg } 4\alpha);$

9) $(\cos 5\beta + \sin 5\beta)^2 + (\sin 5\beta - \cos 5\beta)^2;$

10) $\frac{1 + \text{ctg}^2 2\alpha(\cos^2 2\alpha - 1)}{\sin^2 2\alpha}.$

1) $3\sin^2 \alpha - 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3\sin^2 \alpha - 3 = 3(\sin^2 \alpha - 1)$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.

Подставим это в выражение:

$3(-\cos^2 \alpha) = -3\cos^2 \alpha$

Ответ: $-3\cos^2 \alpha$.

2) $2 - \cos^2 \frac{x}{5} - \sin^2 \frac{x}{5}$

Вынесем знак минус за скобки у второго и третьего слагаемых:

$2 - (\cos^2 \frac{x}{5} + \sin^2 \frac{x}{5})$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, где $\theta = \frac{x}{5}$:

$2 - 1 = 1$

Ответ: $1$.

3) $(\sin 5\beta - 1)(\sin 5\beta + 1)$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sin 5\beta$ и $b=1$:

$(\sin 5\beta)^2 - 1^2 = \sin^2 5\beta - 1$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ следует, что $\sin^2 \theta - 1 = -\cos^2 \theta$.

$\sin^2 5\beta - 1 = -\cos^2 5\beta$

Ответ: $-\cos^2 5\beta$.

4) $4 - \frac{4}{\sin^2 4\gamma}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4(1 - \frac{1}{\sin^2 4\gamma})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$4(\frac{\sin^2 4\gamma - 1}{\sin^2 4\gamma})$

Используя тождество $\sin^2 \theta - 1 = -\cos^2 \theta$, заменим числитель:

$4(\frac{-\cos^2 4\gamma}{\sin^2 4\gamma})$

Так как $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \mathrm{ctg} \theta$, то $\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \mathrm{ctg}^2 \theta$.

$4(-\mathrm{ctg}^2 4\gamma) = -4\mathrm{ctg}^2 4\gamma$

Ответ: $-4\mathrm{ctg}^2 4\gamma$.

5) $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$

Первые два слагаемых, согласно основному тригонометрическому тождеству, дают в сумме 1:

$\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} = 1$

Выражение упрощается до:

$1 - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin^2 5\beta - 1}{\sin^2 5\beta} = \frac{-\cos^2 5\beta}{\sin^2 5\beta} = -\mathrm{ctg}^2 5\beta$

Ответ: $-\mathrm{ctg}^2 5\beta$.

6) $\mathrm{ctg}^2 2\alpha + \mathrm{tg} 6\alpha \mathrm{ctg} 6\alpha$

Используем тождество $\mathrm{tg} \theta \cdot \mathrm{ctg} \theta = 1$:

$\mathrm{tg} 6\alpha \mathrm{ctg} 6\alpha = 1$

Выражение принимает вид:

$\mathrm{ctg}^2 2\alpha + 1$

Используем тождество $1 + \mathrm{ctg}^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta}$:

$1 + \mathrm{ctg}^2 2\alpha = \frac{1}{\sin^2 2\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 2\alpha}$.

7) $\frac{\mathrm{ctg} 3x \sin 3x}{1 + \mathrm{tg}^2 3x}$

Упростим числитель, используя определение котангенса $\mathrm{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$:

$\mathrm{ctg} 3x \sin 3x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} \cdot \sin 3x = \cos 3x$

Упростим знаменатель, используя тождество $1 + \mathrm{tg}^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$:

$1 + \mathrm{tg}^2 3x = \frac{1}{\cos^2 3x}$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\frac{\cos 3x}{\frac{1}{\cos^2 3x}} = \cos 3x \cdot \cos^2 3x = \cos^3 3x$

Ответ: $\cos^3 3x$.

8) $\cos^2 4\alpha(\mathrm{tg} 4\alpha + \mathrm{ctg} 4\alpha)$

Преобразуем выражение в скобках, представив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\mathrm{tg} 4\alpha + \mathrm{ctg} 4\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} + \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}$

Так как $\sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha = 1$, выражение в скобках равно $\frac{1}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\cos^2 4\alpha \cdot \frac{1}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha} = \frac{\cos^2 4\alpha}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \mathrm{ctg} 4\alpha$

Ответ: $\mathrm{ctg} 4\alpha$.

9) $(\cos 5\beta + \sin 5\beta)^2 + (\sin 5\beta - \cos 5\beta)^2$

Раскроем квадраты, используя формулы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(\cos^2 5\beta + 2\cos 5\beta \sin 5\beta + \sin^2 5\beta) + (\sin^2 5\beta - 2\sin 5\beta \cos 5\beta + \cos^2 5\beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos^2 5\beta + \sin^2 5\beta) + (\sin^2 5\beta + \cos^2 5\beta) + 2\sin 5\beta \cos 5\beta - 2\sin 5\beta \cos 5\beta$

Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ и сокращаем подобные слагаемые:

$1 + 1 + 0 = 2$

Ответ: $2$.

10) $\frac{1 + \mathrm{ctg}^2 2\alpha(\cos^2 2\alpha - 1)}{\sin^2 2\alpha}$

Сначала упростим выражение в скобках в числителе: $\cos^2 2\alpha - 1 = -\sin^2 2\alpha$.

Теперь преобразуем произведение в числителе:

$\mathrm{ctg}^2 2\alpha \cdot (\cos^2 2\alpha - 1) = \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} \cdot (-\sin^2 2\alpha) = -\cos^2 2\alpha$

Подставим это в числитель:

$1 + (-\cos^2 2\alpha) = 1 - \cos^2 2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем $1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.

Теперь все выражение имеет вид:

$\frac{\sin^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} = 1$

Ответ: $1$.