Номер 185, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Найдите значение выражения:

1) $\frac{4 \sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha + 4 \sin \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{7 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{5 \sin^2 \alpha + 3 \cos^2 \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = -2$.

1) Дано выражение $\frac{4\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha + 4\sin\alpha}$ и известно, что $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

Чтобы использовать значение котангенса, разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin\alpha$. Это можно сделать, так как если $\sin\alpha = 0$, то $\text{ctg}\alpha$ не определен, что противоречит условию.

$\frac{4\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha + 4\sin\alpha} = \frac{\frac{4\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\alpha + 4\sin\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\frac{4\sin\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{4\sin\alpha}{\sin\alpha}}$

Зная, что $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем:

$\frac{4 - \text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\alpha + 4}$

Теперь подставим в выражение значение $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$:

$\frac{4 - \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 4} = \frac{\frac{12}{3} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{12}{3}} = \frac{\frac{11}{3}}{\frac{13}{3}} = \frac{11}{3} \cdot \frac{3}{13} = \frac{11}{13}$

Ответ: $\frac{11}{13}$

2) Дано выражение $\frac{7\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{5\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha}$ и известно, что $\text{tg}\alpha = -2$.

Чтобы использовать значение тангенса, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha$. Это можно сделать, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\text{tg}\alpha$ не определен, что противоречит условию.

$\frac{7\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{5\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha} = \frac{\frac{7\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{5\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{7\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{5\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 3\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}$

Зная, что $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$\frac{7(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{5(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 + 3} = \frac{7\text{tg}^2\alpha - \text{tg}\alpha}{5\text{tg}^2\alpha + 3}$

Теперь подставим в выражение значение $\text{tg}\alpha = -2$:

$\frac{7(-2)^2 - (-2)}{5(-2)^2 + 3} = \frac{7 \cdot 4 + 2}{5 \cdot 4 + 3} = \frac{28+2}{20+3} = \frac{30}{23}$

Ответ: $\frac{30}{23}$