Номер 191, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Докажите тождество:

1) $ctg \alpha - tg \beta = \frac{cos(\alpha + \beta)}{sin \alpha cos \beta}$;

2) $\frac{sin(\alpha + \beta) - 2 cos \alpha sin \beta}{2 cos \alpha cos \beta - cos(\alpha + \beta)} = tg (\alpha - \beta)$;

3) $sin 2\alpha + cos 2\alpha ctg \alpha = ctg \alpha$.

1) Докажем тождество $ \ctg\alpha - \tg\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\cos\beta} $.

Преобразуем левую часть равенства, используя определения котангенса и тангенса:

$ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

$ \tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $

Подставим эти выражения в левую часть:

$ \ctg\alpha - \tg\beta = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\beta $:

$ \frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta} $

Числитель дроби представляет собой формулу косинуса суммы: $ \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $.

Таким образом, левая часть равна:

$ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\cos\beta} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{\sin(\alpha + \beta) - 2\cos\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha + \beta)} = \tg(\alpha - \beta) $.

Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулы синуса и косинуса суммы:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

Преобразуем числитель:

$ \sin(\alpha + \beta) - 2\cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - 2\cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) $.

Преобразуем знаменатель:

$ 2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $

По определению тангенса, $ \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x $, следовательно:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \tg(\alpha - \beta) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $ \sin 2\alpha + \cos 2\alpha \ctg\alpha = \ctg\alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Заменим $ \ctg\alpha $ на $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:

$ \sin 2\alpha + \cos 2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

Приведем выражение к общему знаменателю $ \sin\alpha $:

$ \frac{\sin 2\alpha \sin\alpha + \cos 2\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha} $

Рассмотрим числитель. Выражение $ \cos 2\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha \sin\alpha $ является формулой косинуса разности $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $, где $ A = 2\alpha $ и $ B = \alpha $.

$ \cos 2\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha \sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) = \cos\alpha $

Подставим полученное выражение обратно в числитель дроби:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

По определению котангенса, $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.