Номер 188, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{3}} + \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\alpha}{3}}$, если $3\pi < \alpha < \frac{9}{2}\pi$;

2) $\sqrt{\sin^2 \alpha(1 - \text{ctg} \alpha) + \cos^2 \alpha(1 - \text{tg} \alpha)}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Упростим выражение $\sqrt{1 - \cos^2\frac{\alpha}{3}} + \sqrt{1 - \sin^2\frac{\alpha}{3}}$ при условии $3\pi < \alpha < \frac{9}{2}\pi$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Из него следуют два равенства: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ и $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Подставим их в наше выражение:

$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{3}} + \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{3}}$

Используя свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sin\frac{\alpha}{3}| + |\cos\frac{\alpha}{3}|$

Теперь определим знаки синуса и косинуса, исходя из данного интервала для $\alpha$.

Дано: $3\pi < \alpha < \frac{9}{2}\pi$.

Найдем интервал для $\frac{\alpha}{3}$, разделив все части неравенства на 3:

$\frac{3\pi}{3} < \frac{\alpha}{3} < \frac{9\pi}{2 \cdot 3}$

$\pi < \frac{\alpha}{3} < \frac{3\pi}{2}$

Этот интервал соответствует III четверти тригонометрического круга. В III четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения:

$\sin\frac{\alpha}{3} < 0$ и $\cos\frac{\alpha}{3} < 0$.

Следовательно, при раскрытии модулей мы должны поменять знаки выражений на противоположные:

$|\sin\frac{\alpha}{3}| = -\sin\frac{\alpha}{3}$

$|\cos\frac{\alpha}{3}| = -\cos\frac{\alpha}{3}$

Подставляем обратно в выражение:

$(-\sin\frac{\alpha}{3}) + (-\cos\frac{\alpha}{3}) = -\sin\frac{\alpha}{3} - \cos\frac{\alpha}{3}$

Ответ: $-\sin\frac{\alpha}{3} - \cos\frac{\alpha}{3}$

2) Упростим выражение $\sqrt{\sin^2\alpha(1-\text{ctg}\alpha) + \cos^2\alpha(1-\text{tg}\alpha)}$ при условии $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Сначала преобразуем выражение под корнем. Вспомним, что $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\sin^2\alpha(1-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) + \cos^2\alpha(1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$\sin^2\alpha(\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha}) + \cos^2\alpha(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha})$

Сократим дроби (это возможно, так как в заданном интервале $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$):

$\sin\alpha(\sin\alpha - \cos\alpha) + \cos\alpha(\cos\alpha - \sin\alpha)$

Вынесем $-1$ из второй скобки, чтобы получить общий множитель:

$\sin\alpha(\sin\alpha - \cos\alpha) - \cos\alpha(\sin\alpha - \cos\alpha)$

Теперь вынесем общий множитель $(\sin\alpha - \cos\alpha)$ за скобки:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha - \cos\alpha) = (\sin\alpha - \cos\alpha)^2$

Итак, исходное выражение равно $\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2}$.

Используя свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sin\alpha - \cos\alpha|$

Определим знак выражения $\sin\alpha - \cos\alpha$ для интервала $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Этот интервал соответствует II четверти тригонометрического круга. Во II четверти синус положителен ($\sin\alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$).

Тогда разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет разностью положительного и отрицательного чисел, что всегда дает положительный результат:

$\sin\alpha - \cos\alpha = (\text{положительное число}) - (\text{отрицательное число}) > 0$.

Поскольку выражение под модулем положительно, модуль можно просто убрать:

$|\sin\alpha - \cos\alpha| = \sin\alpha - \cos\alpha$

Ответ: $\sin\alpha - \cos\alpha$