Номер 190, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Упростите выражение:

1) $cos 6\alpha \cos 4\alpha - \sin 6\alpha \sin 4\alpha$

2) $\sin 14^\circ \cos 31^\circ + \cos 14^\circ \sin 31^\circ$

3) $\cos(24^\circ + \alpha)\cos(24^\circ - \alpha) + \sin(24^\circ + \alpha)\sin(24^\circ - \alpha);$

4) $\frac{\sin 21^\circ \cos 28^\circ + \cos 21^\circ \sin 28^\circ}{\cos 18^\circ \cos 31^\circ - \sin 18^\circ \sin 31^\circ};$

5) $\frac{\mathrm{tg}2^\circ - \mathrm{tg}47^\circ}{1 + \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{tg}47^\circ};$

6) $\frac{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)}{1 - \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)};$

1) Данное выражение имеет вид $ \cos A \cos B - \sin A \sin B $, что соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.
В данном случае $ A = 6\alpha $ и $ B = 4\alpha $.
Применим формулу: $ \cos 6\alpha \cos 4\alpha - \sin 6\alpha \sin 4\alpha = \cos(6\alpha + 4\alpha) = \cos(10\alpha) $.
Ответ: $ \cos(10\alpha) $.

2) Данное выражение имеет вид $ \sin A \cos B + \cos A \sin B $, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
В данном случае $ A = 14^\circ $ и $ B = 31^\circ $.
Применим формулу: $ \sin 14^\circ \cos 31^\circ + \cos 14^\circ \sin 31^\circ = \sin(14^\circ + 31^\circ) = \sin(45^\circ) $.
Значение $ \sin(45^\circ) $ равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

3) Данное выражение имеет вид $ \cos A \cos B + \sin A \sin B $, что соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
В данном случае $ A = 24^\circ + \alpha $ и $ B = 24^\circ - \alpha $.
Применим формулу: $ \cos((24^\circ + \alpha) - (24^\circ - \alpha)) = \cos(24^\circ + \alpha - 24^\circ + \alpha) = \cos(2\alpha) $.
Ответ: $ \cos(2\alpha) $.

4) Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $ \sin 21^\circ \cos 28^\circ + \cos 21^\circ \sin 28^\circ $. Это формула синуса суммы: $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
$ \sin(21^\circ + 28^\circ) = \sin(49^\circ) $.
Знаменатель: $ \cos 18^\circ \cos 31^\circ - \sin 18^\circ \sin 31^\circ $. Это формула косинуса суммы: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.
$ \cos(18^\circ + 31^\circ) = \cos(49^\circ) $.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $ \frac{\sin(49^\circ)}{\cos(49^\circ)} = \operatorname{tg}(49^\circ) $.
Ответ: $ \operatorname{tg}(49^\circ) $.

5) Данное выражение имеет вид $ \frac{\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $, что соответствует формуле тангенса разности двух углов: $ \operatorname{tg}(A-B) = \frac{\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $.
В данном случае $ A = 2^\circ $ и $ B = 47^\circ $.
Применим формулу: $ \frac{\operatorname{tg} 2^\circ - \operatorname{tg} 47^\circ}{1 + \operatorname{tg} 2^\circ \operatorname{tg} 47^\circ} = \operatorname{tg}(2^\circ - 47^\circ) = \operatorname{tg}(-45^\circ) $.
Так как тангенс — нечетная функция, $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x) $, то $ \operatorname{tg}(-45^\circ) = -\operatorname{tg}(45^\circ) = -1 $.
Ответ: -1.

6) Данное выражение имеет вид $ \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $, что соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $ \operatorname{tg}(A+B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $.
В данном случае $ A = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{6} - \alpha $.
Применим формулу: $ \operatorname{tg}\left(\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Значение $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $ равно $ \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $.