Номер 184, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \sin^2 \alpha - 4\cos^2 \alpha; $

2) $ 3\cos^2 \alpha - 3\text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha; $

3) $ 3\cos \alpha - 2\sin^2 \alpha; $

4) $ 6\cos \alpha + \sin^2 \alpha. $

1) $ \sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, чтобы выразить все выражение через одну тригонометрическую функцию. Заменим $ \sin^2\alpha $ на $ 1 - \cos^2\alpha $.

$ \sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha = (1 - \cos^2\alpha) - 4\cos^2\alpha = 1 - 5\cos^2\alpha $.

Пусть $ t = \cos^2\alpha $. Поскольку $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $, то $ 0 \le \cos^2\alpha \le 1 $. Следовательно, переменная $ t $ принимает значения в отрезке $ [0, 1] $.

Теперь задача сводится к нахождению диапазона значений функции $ y(t) = 1 - 5t $ на отрезке $ [0, 1] $. Это линейная убывающая функция (угловой коэффициент -5 отрицательный).

Следовательно, наибольшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента $ t $, то есть при $ t = 0 $:

$ y_{наиб} = 1 - 5 \cdot 0 = 1 $.

Наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента $ t $, то есть при $ t = 1 $:

$ y_{наим} = 1 - 5 \cdot 1 = -4 $.

Ответ: наибольшее значение 1, наименьшее значение -4.

2) $ 3\cos^2\alpha - 3\text{tg}^2\alpha \cos^2\alpha $

Упростим данное выражение, используя определение тангенса $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $. При этом область определения выражения подразумевает, что $ \cos\alpha \neq 0 $.

$ 3\cos^2\alpha - 3\text{tg}^2\alpha \cos^2\alpha = 3\cos^2\alpha - 3\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cos^2\alpha = 3\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha $.

Вынесем 3 за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:

$ 3(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 3\cos(2\alpha) $.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $ 3\cos(2\alpha) $. Область значений функции $ y = \cos(x) $ есть отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \cos(2\alpha) \le 1 $.

Умножив все части двойного неравенства на 3, получим область значений для исходного выражения:

$ -3 \le 3\cos(2\alpha) \le 3 $.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 3, а наименьшее равно -3.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

3) $ 3\cos\alpha - 2\sin^2\alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $, чтобы привести выражение к функции, зависящей только от $ \cos\alpha $.

$ 3\cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos\alpha - 2 + 2\cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha + 3\cos\alpha - 2 $.

Сделаем замену переменной $ t = \cos\alpha $. Поскольку $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $, то $ t $ принимает значения из отрезка $ [-1, 1] $.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $ y(t) = 2t^2 + 3t - 2 $ на отрезке $ [-1, 1] $.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $ t^2 $ положителен). Наименьшее значение на отрезке будет достигаться в вершине параболы, если она попадает в этот отрезок. Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы: $ t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} $.

Так как $ -1 \le -\frac{3}{4} \le 1 $, вершина параболы принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, и в ней функция достигает своего наименьшего значения.

$ y_{наим} = y(-\frac{3}{4}) = 2(-\frac{3}{4})^2 + 3(-\frac{3}{4}) - 2 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9 - 18 - 16}{8} = -\frac{25}{8} $.

Для нахождения наибольшего значения вычислим значения функции на концах отрезка $ [-1, 1] $:

$ y(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 2 = 2 - 3 - 2 = -3 $.

$ y(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 $.

Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее значение равно 3.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение $ -\frac{25}{8} $.

4) $ 6\cos\alpha + \sin^2\alpha $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $, приведем выражение к функции от $ \cos\alpha $.

$ 6\cos\alpha + (1 - \cos^2\alpha) = -\cos^2\alpha + 6\cos\alpha + 1 $.

Сделаем замену $ t = \cos\alpha $, где $ t \in [-1, 1] $.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $ y(t) = -t^2 + 6t + 1 $ на отрезке $ [-1, 1] $.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $ t^2 $ отрицателен). Наибольшее значение на отрезке будет достигаться в вершине параболы, если она попадает в этот отрезок. Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы: $ t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 $.

Вершина параболы $ t_v = 3 $ не принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.

Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина ($ t=3 $) находится правее отрезка $ [-1, 1] $, то на этом отрезке функция $ y(t) $ является возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, при $ t = -1 $:

$ y_{наим} = y(-1) = -(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -1 - 6 + 1 = -6 $.

Наибольшее значение функция принимает на правом конце отрезка, при $ t = 1 $:

$ y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 + 6(1) + 1 = -1 + 6 + 1 = 6 $.

Ответ: наибольшее значение 6, наименьшее значение -6.