Номер 187, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Постройте график функции:

1) $y = \cos 3\alpha \operatorname{tg} 3\alpha$;

2) $y = \cos^2 \sqrt{x} + \sin^2 \sqrt{x}$.

1)
Рассмотрим функцию $y = \cos(3\alpha) \operatorname{tg}(3\alpha)$.
Для построения графика сначала упростим выражение. Используем определение тангенса: $\operatorname{tg}(3\alpha) = \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)}$.
Подставив это в исходное уравнение, получим:
$y = \cos(3\alpha) \cdot \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)}$
Сократив $\cos(3\alpha)$, получим $y = \sin(3\alpha)$.
Однако, это преобразование возможно только при условии, что исходное выражение имеет смысл. Функция $\operatorname{tg}(3\alpha)$ не определена, когда ее знаменатель $\cos(3\alpha)$ равен нулю.
Найдем область определения функции (ОДЗ):
$\cos(3\alpha) \neq 0$
$3\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
$\alpha \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin(3\alpha)$, но с "выколотыми" точками в тех местах, где нарушается ОДЗ.
График функции $y = \sin(3\alpha)$ - это синусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{3}$.
Точки, которые нужно исключить из графика, имеют абсциссы $\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$. Ординаты этих точек равны $y = \sin(3(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3})) = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$.
Следовательно, из графика синусоиды $y = \sin(3\alpha)$ нужно выколоть все точки локальных максимумов (с ординатой 1) и минимумов (с ординатой -1).
Ответ: Графиком функции является синусоида $y = \sin(3\alpha)$ (с амплитудой 1 и периодом $\frac{2\pi}{3}$) с выколотыми точками в местах локальных экстремумов. Координаты выколотых точек: $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, (-1)^k)$ при $k \in \mathbb{Z}$.

2)
Рассмотрим функцию $y = \cos^2\sqrt{x} + \sin^2\sqrt{x}$.
Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$.
В данном случае $\theta = \sqrt{x}$, поэтому функция упрощается до $y=1$.
Теперь найдем область определения исходной функции (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений $x$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Таким образом, график исходной функции - это график функции $y=1$ при условии, что $x \ge 0$.
Геометрически это представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий параллельно оси абсцисс вправо.
Ответ: Графиком функции является луч, задаваемый уравнением $y=1$ для $x \ge 0$. Он начинается в точке $(0, 1)$ и идет вправо параллельно оси Ox.