Номер 192, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Преобразуйте в произведение:

1) $tg63^\circ - tg18^\circ$;

2) $tg14\varphi + ctg2\varphi$;

3) $tg\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right) + tg\left(\frac{\pi}{3} + 2\alpha\right)$;

4) $\frac{\sqrt{3}}{3} + tg\alpha$.

1) Для преобразования разности тангенсов $tg63^\circ - tg18^\circ$ в произведение воспользуемся формулой разности тангенсов:

$tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos\alpha \cdot cos\beta}$

В нашем случае $\alpha = 63^\circ$ и $\beta = 18^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$tg63^\circ - tg18^\circ = \frac{sin(63^\circ - 18^\circ)}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

Вычислим разность углов в числителе:

$63^\circ - 18^\circ = 45^\circ$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в следующее произведение:

$\frac{sin45^\circ}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

Поскольку $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, можно записать ответ в виде:

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

Ответ: $\frac{sin45^\circ}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

2) Чтобы преобразовать сумму $tg14\varphi + ctg2\varphi$ в произведение, сначала представим тангенс и котангенс через синус и косинус, а затем приведем к общему знаменателю.

$tg14\varphi + ctg2\varphi = \frac{sin14\varphi}{cos14\varphi} + \frac{cos2\varphi}{sin2\varphi}$

Приводим дроби к общему знаменателю $cos14\varphi \cdot sin2\varphi$:

$\frac{sin14\varphi \cdot sin2\varphi + cos14\varphi \cdot cos2\varphi}{cos14\varphi \cdot sin2\varphi}$

В числителе мы видим формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Применив эту формулу для $\alpha = 14\varphi$ и $\beta = 2\varphi$, получаем:

$sin14\varphi \cdot sin2\varphi + cos14\varphi \cdot cos2\varphi = cos(14\varphi - 2\varphi) = cos12\varphi$

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$\frac{cos12\varphi}{cos14\varphi \cdot sin2\varphi}$

Ответ: $\frac{cos12\varphi}{cos14\varphi \cdot sin2\varphi}$

3) Для преобразования суммы тангенсов $tg(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) + tg(\frac{\pi}{3} + 2\alpha)$ воспользуемся формулой суммы тангенсов:

$tgx + tgy = \frac{sin(x + y)}{cosx \cdot cosy}$

Пусть $x = \frac{\pi}{6} - 2\alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} + 2\alpha$. Найдем сумму аргументов:

$x + y = (\frac{\pi}{6} - 2\alpha) + (\frac{\pi}{3} + 2\alpha) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

Тогда числитель дроби равен $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + 2\alpha)}$

Упростим знаменатель, используя формулу приведения: $cos(\frac{\pi}{3} + 2\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2\alpha)) = sin(\frac{\pi}{6} - 2\alpha)$.

Знаменатель становится произведением синуса и косинуса одного и того же угла: $cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) \cdot sin(\frac{\pi}{6} - 2\alpha)$.

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\theta) = 2sin\theta \cdot cos\theta$, откуда $sin\theta \cdot cos\theta = \frac{1}{2}sin(2\theta)$:

$cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) \cdot sin(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) = \frac{1}{2}sin(2(\frac{\pi}{6} - 2\alpha)) = \frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)$

Подставляем это в наше выражение:

$\frac{1}{\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)} = \frac{2}{sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)}$

Ответ: $\frac{2}{sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)}$

4) Чтобы преобразовать сумму $\frac{\sqrt{3}}{3} + tg\alpha$ в произведение, представим число $\frac{\sqrt{3}}{3}$ как тангенс известного угла.

Известно, что $tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $tg30^\circ$).

Тогда исходное выражение можно записать как $tg\frac{\pi}{6} + tg\alpha$.

Воспользуемся формулой суммы тангенсов:

$tgx + tgy = \frac{sin(x + y)}{cosx \cdot cosy}$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$. Подставляем в формулу:

$tg\frac{\pi}{6} + tg\alpha = \frac{sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{cos\frac{\pi}{6} \cdot cos\alpha}$

Значение косинуса $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в знаменатель:

$\frac{sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos\alpha} = \frac{2sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{\sqrt{3}cos\alpha}$

Ответ: $\frac{2sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{\sqrt{3}cos\alpha}$

193. Чтобы найти значение $ctg75^\circ$, представим угол $75^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов, значения тригонометрических функций которых известны. Например, $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.

Воспользуемся формулой котангенса суммы двух углов:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\alpha + ctg\beta}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.

Нам известны значения котангенсов этих углов:

$ctg45^\circ = 1$

$ctg30^\circ = \sqrt{3}$

Подставим эти значения в формулу:

$ctg75^\circ = ctg(45^\circ + 30^\circ) = \frac{ctg45^\circ \cdot ctg30^\circ - 1}{ctg45^\circ + ctg30^\circ} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$:

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$