gdz.top
Номер 193, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Формулы сложения - номер 193, страница 86.
№192
№193 (с. 86)
Условие. №193 (с. 86)
193. Найдите $ \operatorname{ctg} 75^\circ $.
Решение. №193 (с. 86)
Для того чтобы найти значение $ctg 75°$, представим угол $75°$ в виде суммы двух стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций. Например, $75° = 45° + 30°$.
Воспользуемся формулой котангенса суммы двух углов:
$ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\alpha + ctg\beta}$
Подставим в эту формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:
$ctg 75° = ctg(45° + 30°) = \frac{ctg 45° \cdot ctg 30° - 1}{ctg 45° + ctg 30°}$
Мы знаем значения котангенсов для углов $45°$ и $30°$:
$ctg 45° = 1$
$ctg 30° = \sqrt{3}$
Теперь подставим эти значения в нашу формулу:
$ctg 75° = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$:
$ctg 75° = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$
Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$ctg 75° = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$
Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:
$ctg 75° = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$
Ответ: $2 - \sqrt{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 193 расположенного на странице 86 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №193 (с. 86), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.