Номер 200, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Найдите значение выражения:

1) $2\sin 210^\circ + \operatorname{tg} 240^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ + 6\cos 450^\circ;$

2) $\sin \left(-\frac{11\pi}{6}\right) \cos\frac{19\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4} \operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{3}\right);$

3) $\sin 113^\circ \cos 323^\circ + \cos 247^\circ \cos 307^\circ;$

4) $\frac{\cos 107^\circ \cos 185^\circ - \sin 253^\circ \sin 5^\circ}{\sin 143^\circ \cos 165^\circ + \cos 37^\circ \sin 15^\circ}.$

1) $2\sin210^\circ + \tg240^\circ + \ctg120^\circ + 6\cos450^\circ$

Для решения этого примера воспользуемся формулами приведения, чтобы свести углы к первой четверти.

1. Вычислим значение каждого слагаемого:

• $\sin210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin30^\circ = -\frac{1}{2}$
• $\tg240^\circ = \tg(180^\circ + 60^\circ) = \tg60^\circ = \sqrt{3}$
• $\ctg120^\circ = \ctg(180^\circ - 60^\circ) = -\ctg60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\cos450^\circ = \cos(360^\circ + 90^\circ) = \cos90^\circ = 0$

2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2\sin210^\circ + \tg240^\circ + \ctg120^\circ + 6\cos450^\circ = 2\cdot(-\frac{1}{2}) + \sqrt{3} + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 6\cdot0$

$= -1 + \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. Приведем слагаемые с корнями к общему знаменателю:

$\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

4. Получаем итоговый результат:

$-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

2) $\sin(-\frac{11\pi}{6})\cos\frac{19\pi}{6} - \tg\frac{5\pi}{4}\ctg(-\frac{5\pi}{3})$

Упростим каждую тригонометрическую функцию, используя свойства четности/нечетности и периодичности.

1. Вычислим значение каждого множителя:

• $\sin(-\frac{11\pi}{6}) = -\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-\sin\frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos(\frac{18\pi+\pi}{6}) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tg\frac{5\pi}{4} = \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg\frac{\pi}{4} = 1$
• $\ctg(-\frac{5\pi}{3}) = -\ctg(\frac{5\pi}{3}) = -\ctg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\ctg\frac{\pi}{3}) = \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. Подставим найденные значения в выражение:

$(\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{12} - \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{-3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{12} = -\frac{7\sqrt{3}}{12}$

Ответ: $-\frac{7\sqrt{3}}{12}$.

3) $\sin113^\circ\cos323^\circ + \cos247^\circ\cos307^\circ$

Для решения применим формулы приведения, чтобы преобразовать выражение к одной из формул сложения.

1. Преобразуем каждую функцию:

• $\sin113^\circ = \sin(180^\circ - 67^\circ) = \sin67^\circ$
• $\cos323^\circ = \cos(360^\circ - 37^\circ) = \cos37^\circ$
• $\cos247^\circ = \cos(180^\circ + 67^\circ) = -\cos67^\circ$
• $\cos307^\circ = \cos(270^\circ + 37^\circ) = \sin37^\circ$

2. Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$\sin67^\circ\cos37^\circ + (-\cos67^\circ)(\sin37^\circ) = \sin67^\circ\cos37^\circ - \cos67^\circ\sin37^\circ$

3. Полученное выражение является формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 67^\circ$ и $\beta = 37^\circ$:

$\sin(67^\circ - 37^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) $\frac{\cos107^\circ \cos185^\circ - \sin253^\circ \sin5^\circ}{\sin143^\circ \cos165^\circ + \cos37^\circ \sin15^\circ}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя формулы приведения.

1. Упростим числитель: $\cos107^\circ \cos185^\circ - \sin253^\circ \sin5^\circ$.

• $\cos107^\circ = \cos(90^\circ + 17^\circ) = -\sin17^\circ$
• $\cos185^\circ = \cos(180^\circ + 5^\circ) = -\cos5^\circ$
• $\sin253^\circ = \sin(270^\circ - 17^\circ) = -\cos17^\circ$

Подставляем в числитель:

$(-\sin17^\circ)(-\cos5^\circ) - (-\cos17^\circ)\sin5^\circ = \sin17^\circ\cos5^\circ + \cos17^\circ\sin5^\circ$

Это формула синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Числитель равен $\sin(17^\circ + 5^\circ) = \sin22^\circ$.

2. Упростим знаменатель: $\sin143^\circ \cos165^\circ + \cos37^\circ \sin15^\circ$.

• $\sin143^\circ = \sin(180^\circ - 37^\circ) = \sin37^\circ$
• $\cos165^\circ = \cos(180^\circ - 15^\circ) = -\cos15^\circ$

Подставляем в знаменатель:

$(\sin37^\circ)(-\cos15^\circ) + \cos37^\circ\sin15^\circ = \cos37^\circ\sin15^\circ - \sin37^\circ\cos15^\circ$

Это формула синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Знаменатель равен $\sin(15^\circ - 37^\circ) = \sin(-22^\circ) = -\sin22^\circ$.

3. Найдем значение всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\sin22^\circ}{-\sin22^\circ} = -1$

Ответ: -1.