Номер 204, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Найдите значение выражения:

1) $2\sin^2 \frac{\pi}{8} - 1;$

2) $\frac{2\operatorname{tg} 75^\circ}{\operatorname{tg}^2 75^\circ - 1};$

3) $(\cos^2 7,5^\circ - \sin^2 7,5^\circ)\sin 15^\circ.$

1) $2\sin^2\frac{\pi}{8} - 1$

Для решения воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Чтобы привести исходное выражение к этой формуле, вынесем $-1$ за скобки:

$2\sin^2\frac{\pi}{8} - 1 = -(1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8})$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$:

$-(1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8}) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{2\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$

Значение $\cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, значение выражения равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $\frac{2\tg 75^\circ}{\tg^2 75^\circ - 1}$

Для решения воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}$.

Обратим внимание, что знаменатель в заданном выражении имеет вид $\tg^2 75^\circ - 1$, что является противоположным по знаку знаменателю в формуле. Вынесем $-1$ в знаменателе за скобки:

$\frac{2\tg 75^\circ}{\tg^2 75^\circ - 1} = \frac{2\tg 75^\circ}{-(1 - \tg^2 75^\circ)} = -\frac{2\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ}$

Теперь выражение соответствует формуле тангенса двойного угла со знаком минус, где $\alpha = 75^\circ$:

$-\frac{2\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ} = -\tg(2 \cdot 75^\circ) = -\tg(150^\circ)$

Для вычисления значения $\tg(150^\circ)$ воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - \beta) = -\tg\beta$:

$\tg(150^\circ) = \tg(180^\circ - 30^\circ) = -\tg(30^\circ)$

Табличное значение $\tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значит, $\tg(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение в наше выражение:

$-\tg(150^\circ) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

3) $(\cos^2 7.5^\circ - \sin^2 7.5^\circ)\sin 15^\circ$

Рассмотрим выражение в скобках: $\cos^2 7.5^\circ - \sin^2 7.5^\circ$. Это одна из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 7.5^\circ$:

$\cos^2 7.5^\circ - \sin^2 7.5^\circ = \cos(2 \cdot 7.5^\circ) = \cos(15^\circ)$

Теперь исходное выражение упрощается до:

$\cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$

Это выражение является частью формулы синуса двойного угла: $\sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta$. Отсюда следует, что $\sin\beta\cos\beta = \frac{1}{2}\sin(2\beta)$.

Применим это, где $\beta = 15^\circ$:

$\sin(15^\circ)\cos(15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(30^\circ)$

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Таким образом, окончательное значение выражения:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$