Номер 197, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Упростите выражение:

1) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right);$

2) $\cos(\pi + \alpha);$

3) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right);$

4) $\operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right);$

5) $\operatorname{tg}^2\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right);$

6) $\sin^2(180^\circ + \alpha).$

1) Для упрощения выражения $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $ воспользуемся формулами приведения.

Правило 1: Если в формуле содержатся углы $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). В данном случае $ \sin $ меняется на $ \cos $.

Правило 2: Знак перед полученной функцией определяется знаком исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в III координатной четверти. Синус в III четверти имеет знак "минус".

Следовательно, $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

2) Для упрощения выражения $ \cos(\pi + \alpha) $ воспользуемся формулами приведения.

Правило 1: Если в формуле содержатся углы $ \pi $ или $ 2\pi $, то название функции не меняется. В данном случае $ \cos $ остается $ \cos $.

Правило 2: Угол $ \pi + \alpha $ находится в III координатной четверти. Косинус в III четверти имеет знак "минус".

Следовательно, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $ воспользуемся формулами приведения.

Правило 1: Так как в аргументе стоит $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию, то есть $ \text{ctg} $ меняется на $ \text{tg} $.

Правило 2: Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I координатной четверти. Котангенс в I четверти имеет знак "плюс".

Следовательно, $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}(\alpha) $.

Ответ: $ \text{tg}(\alpha) $

4) Упростим выражение $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) $.

Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $.

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \text{tg}\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right) = -\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $

Теперь применим формулу приведения для $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $.

Правило 1: Так как в аргументе стоит $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \text{tg} $ меняется на кофункцию $ \text{ctg} $.

Правило 2: Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III координатной четверти, где тангенс имеет знак "плюс". Значит, $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha) $.

Подставляя обратно, получаем: $ -\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha) $.

Ответ: $ -\text{ctg}(\alpha) $

5) Упростим выражение $ \text{tg}^2\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) $.

Сначала упростим основание степени $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) $. Используем периодичность тангенса (период $ \pi $).

$ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $

Отбрасывая полный оборот $ 2\pi $, получаем:

$ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $

Теперь применим формулу приведения для $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $. Это кофункция, то есть $ \text{ctg}(\alpha) $, со знаком "плюс" (I четверть).

$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha) $

Наконец, возводим результат в квадрат: $ \text{tg}^2\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \left(\text{ctg}(\alpha)\right)^2 = \text{ctg}^2(\alpha) $.

Ответ: $ \text{ctg}^2(\alpha) $

6) Упростим выражение $ \sin^2(180^\circ + \alpha) $.

Сначала упростим $ \sin(180^\circ + \alpha) $ по формулам приведения.

Правило 1: Так как в аргументе стоит $ 180^\circ $ ($ \pi $ радиан), название функции $ \sin $ не меняется.

Правило 2: Угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в III координатной четверти, где синус имеет знак "минус".

Следовательно, $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha) $.

Теперь возводим полученное выражение в квадрат:

$ \sin^2(180^\circ + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $

Ответ: $ \sin^2(\alpha) $