Номер 195, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Дано: $cos \alpha = 0,8$, $cos \beta = -\frac{12}{13}$, $270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$, $180^{\circ} < \beta < 270^{\circ}$.

Найдите $sin (\alpha - \beta)$.

Для того чтобы найти значение выражения $sin(\alpha - \beta)$, необходимо воспользоваться формулой синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

В условии задачи даны значения $cos\alpha$ и $cos\beta$. Нам нужно найти значения $sin\alpha$ и $sin\beta$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$ и учитывая, в каких координатных четвертях находятся углы $\alpha$ и $\beta$.

Найдем $sin\alpha$

По условию $cos\alpha = 0,8 = \frac{4}{5}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$. Этот диапазон углов соответствует IV координатной четверти, в которой значения синуса отрицательны.

Вычислим $sin\alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

$sin\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$

Так как угол $\alpha$ находится в IV четверти, $sin\alpha < 0$, следовательно:

$sin\alpha = -0,6 = -\frac{3}{5}$

Найдем $sin\beta$

По условию $cos\beta = -\frac{12}{13}$ и $180^\circ < \beta < 270^\circ$. Этот диапазон углов соответствует III координатной четверти, в которой значения синуса также отрицательны.

Вычислим $sin\beta$:

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$sin\beta = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$

Так как угол $\beta$ находится в III четверти, $sin\beta < 0$, следовательно:

$sin\beta = -\frac{5}{13}$

Вычислим $sin(\alpha - \beta)$

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения ($sin\alpha = -\frac{3}{5}$, $cos\alpha = \frac{4}{5}$, $sin\beta = -\frac{5}{13}$, $cos\beta = -\frac{12}{13}$), подставим их в формулу синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{12}{13}) - (\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{5}{13})$

$sin(\alpha - \beta) = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 13} - \frac{4 \cdot (-5)}{5 \cdot 13} = \frac{36}{65} - (-\frac{20}{65})$

$sin(\alpha - \beta) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{36 + 20}{65} = \frac{56}{65}$

Ответ: $\frac{56}{65}$