Номер 189, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Упростите выражение:

1) $ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right); $

2) $ 2\sin \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha; $

3) $ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}. $

1) Для упрощения выражения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
Раскроем скобки в исходном выражении, используя значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:
$(\cos\alpha \cos\frac{\pi}{6} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{6}) - (\cos\alpha \cos\frac{\pi}{6} + \sin\alpha \sin\frac{\pi}{6})$
$= (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) - (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha = -2 \cdot \frac{1}{2}\sin\alpha = -\sin\alpha$.

Ответ: $-\sin\alpha$.

2) Рассмотрим выражение $2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha$.
Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.
Зная, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, преобразуем первый член выражения:
$2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha - \sin\alpha = -2\sin\alpha$.

Ответ: $-2\sin\alpha$.

3) Упростим дробь $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}$.
Воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
Используя значения $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Числитель:
$\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha) = (\sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha) - (\cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha)$
$= (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\sin\alpha$.
Знаменатель:
$\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha) = (\sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha) + (\cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha)$
$= (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) + (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha$.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.

Ответ: $\tan\alpha$.