Номер 182, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Вычислите значения тригонометрических функций угла β, если:

1) $ \cos\beta = \frac{3}{4} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $;

2) $ \operatorname{tg}\beta = -3 $ и $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.

1) Дано: $cos\beta = \frac{3}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.

Угол $\beta$ находится в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс — отрицательны.

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$

$sin^2\beta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}$

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, его синус отрицателен, поэтому:

$sin\beta = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

Теперь вычислим тангенс и котангенс:

$tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta} = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

$ctg\beta = \frac{1}{tg\beta} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{7}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Ответ: $sin\beta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$, $tg\beta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$, $ctg\beta = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

2) Дано: $tg\beta = -3$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Угол $\beta$ находится во II четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательны.

Сначала найдем котангенс:

$ctg\beta = \frac{1}{tg\beta} = -\frac{1}{3}$

Для нахождения косинуса воспользуемся тождеством $1 + tg^2\beta = \frac{1}{cos^2\beta}$.

$\frac{1}{cos^2\beta} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$

$cos^2\beta = \frac{1}{10}$

Поскольку угол $\beta$ находится во II четверти, его косинус отрицателен, поэтому:

$cos\beta = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

Теперь найдем синус, используя определение тангенса $tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta}$, откуда $sin\beta = tg\beta \cdot cos\beta$.

$sin\beta = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Во II четверти синус положителен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $sin\beta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $cos\beta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $ctg\beta = -\frac{1}{3}$.