Номер 176, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 48^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 48^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 56^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 27^{\circ}$;

3) $\operatorname{ctg} 38^{\circ}$ и $\sin 85^{\circ}$.

1) ctg 48° и tg 48°

Для сравнения $ctg\;48^\circ$ и $tg\;48^\circ$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
Известно, что $tg\;45^\circ = 1$ и $ctg\;45^\circ = 1$.
Функция $y = tg\;x$ возрастает на интервале $(0^\circ; 90^\circ)$. Так как $48^\circ > 45^\circ$, то $tg\;48^\circ > tg\;45^\circ$, следовательно, $tg\;48^\circ > 1$.
Функция $y = ctg\;x$ убывает на интервале $(0^\circ; 90^\circ)$. Так как $48^\circ > 45^\circ$, то $ctg\;48^\circ < ctg\;45^\circ$, следовательно, $ctg\;48^\circ < 1$.
Таким образом, мы имеем $ctg\;48^\circ < 1$ и $tg\;48^\circ > 1$. Отсюда следует, что $ctg\;48^\circ < tg\;48^\circ$.

Ответ: $ctg\;48^\circ < tg\;48^\circ$.

2) tg 56° и ctg 27°

Чтобы сравнить $tg\;56^\circ$ и $ctg\;27^\circ$, приведем обе функции к одной, например, к тангенсу. Используем формулу приведения: $ctg\; \alpha = tg\;(90^\circ - \alpha)$.
Применим эту формулу к $ctg\;27^\circ$:
$ctg\;27^\circ = tg\;(90^\circ - 27^\circ) = tg\;63^\circ$.
Теперь задача сводится к сравнению $tg\;56^\circ$ и $tg\;63^\circ$.
Поскольку функция $y = tg\;x$ является возрастающей на интервале $(0^\circ; 90^\circ)$, а $56^\circ < 63^\circ$, то $tg\;56^\circ < tg\;63^\circ$.
Следовательно, $tg\;56^\circ < ctg\;27^\circ$.

Ответ: $tg\;56^\circ < ctg\;27^\circ$.

3) ctg 38° и sin 85°

Сравним $ctg\;38^\circ$ и $sin\;85^\circ$.
Рассмотрим каждое значение по отдельности.
Для котангенса: функция $y = ctg\;x$ убывает в первой четверти. Мы знаем, что $ctg\;45^\circ = 1$. Так как $38^\circ < 45^\circ$, то $ctg\;38^\circ > ctg\;45^\circ$, что означает $ctg\;38^\circ > 1$.
Для синуса: функция $y = sin\;x$ принимает значения в диапазоне от -1 до 1. В первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) значения синуса находятся в интервале $(0; 1)$. Максимальное значение, равное 1, достигается при $x=90^\circ$. Так как $85^\circ < 90^\circ$, то $sin\;85^\circ < sin\;90^\circ$, следовательно, $sin\;85^\circ < 1$.
Итак, мы получили, что $ctg\;38^\circ > 1$ и $sin\;85^\circ < 1$. Отсюда следует, что $ctg\;38^\circ > sin\;85^\circ$.

Ответ: $ctg\;38^\circ > sin\;85^\circ$.