Номер 171, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + 2$;

2) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = -\sin \frac{x}{2}$;

4) $y = 3\sin x$;

5) $y = 3\sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$.

1) $y = \sin x + 2$

Для построения графика функции $y = \sin x + 2$ используется график базовой функции $y = \sin x$. Построение выполняется в несколько шагов:
1. Строится график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует параллельному переносу графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат $Oy$ на $c$ единиц. В нашем случае $f(x) = \sin x$ и $c = 2$.
3. Так как $c = 2 > 0$, мы сдвигаем весь график функции $y = \sin x$ на 2 единицы вверх.
В результате ось симметрии синусоиды перемещается с $y=0$ на $y=2$. Область значений функции становится $[ -1+2, 1+2 ]$, то есть $[1, 3]$. Период функции остается равным $2\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

2) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ строится на основе графика $y = \sin x$.
1. Строим график базовой функции $y = \sin x$.
2. Преобразование вида $y = f(x+c)$ соответствует параллельному переносу графика $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс $Ox$. В данном случае $f(x) = \sin x$ и $c = \frac{\pi}{4}$.
3. Так как $c = \frac{\pi}{4} > 0$, сдвиг происходит влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц.
Каждая точка графика $y = \sin x$ сдвигается влево по горизонтали. Например, точка $(0,0)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, а максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переместится в точку $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{\pi}{4}, 1)$. Период и область значений функции не изменяются.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево вдоль оси $Ox$.

3) $y = -\sin\frac{x}{2}$

Построение этого графика включает три последовательных преобразования графика $y = \sin x$.
1. Исходный график: $y = \sin x$.
2. Растяжение по оси $Ox$: Аргумент синуса $\frac{x}{2}$ означает, что происходит растяжение графика вдоль оси абсцисс в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$. Получаем график функции $y = \sin\frac{x}{2}$.
3. Симметричное отражение: Знак "минус" перед функцией означает отражение графика относительно оси абсцисс $Ox$. То есть, все положительные значения $y$ становятся отрицательными, а отрицательные — положительными. Получаем искомый график $y = -\sin\frac{x}{2}$.
Область значений функции остается $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = -\sin\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси $Ox$ с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

4) $y = 3\sin x$

График функции $y = 3\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем преобразования.
1. Строим график базовой функции $y = \sin x$.
2. Преобразование вида $y = A \cdot f(x)$ соответствует растяжению (при $|A|>1$) или сжатию (при $0 < |A| < 1$) графика вдоль оси ординат $Oy$. В нашем случае $A=3$.
3. Так как $A = 3 > 1$, мы растягиваем график $y = \sin x$ в 3 раза вдоль оси $Oy$.
Это означает, что ордината (значение $y$) каждой точки графика умножается на 3. Амплитуда колебаний увеличивается до 3. Область значений функции становится $[-3, 3]$. Период функции не изменяется и равен $2\pi$.

Ответ: График функции $y = 3\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$.

5) $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком $y = \sin x$.
1. Сдвиг по оси $Ox$: Строим график $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$, сдвигая график $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{3}$ влево.
2. Растяжение по оси $Oy$: Полученный график растягиваем в 3 раза вдоль оси $Oy$. Это дает нам график функции $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Амплитуда становится равной 3, а область значений — $[-3, 3]$.
3. Сдвиг по оси $Oy$: Наконец, сдвигаем последний график на 2 единицы вверх, чтобы получить искомый график $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$.
В результате:
- Период функции равен $2\pi$.
- Амплитуда равна 3.
- График сдвинут влево на $\frac{\pi}{3}$ и вверх на 2.
- Область значений функции: $[-3+2, 3+2]$, то есть $[-1, 5]$.
- Ключевые точки одного периода: начальная точка синусоиды $(0,0)$ переходит в $(-\frac{\pi}{3}, 2)$; максимум $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{6}, 5)$; минимум $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{7\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево, затем растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$ и, наконец, сдвига на 2 единицы вверх.