Номер 177, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{ctg} 25^{\circ}$;

2) $\sin \alpha = \operatorname{tg} 40^{\circ}$?

1)

Для того чтобы равенство $ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ $ было возможным, значение правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.

Оценим значение выражения $ \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ $.

Функция котангенс является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $. Сравним $ \ctg 25^\circ $ с известным значением $ \ctg 30^\circ = \sqrt{3} $.

Так как $ 25^\circ < 30^\circ $, то $ \ctg 25^\circ > \ctg 30^\circ $.

Это означает, что $ \ctg 25^\circ > \sqrt{3} $.

Умножим обе части этого неравенства на положительное число $ \frac{1}{\sqrt{3}} $:

$ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \ctg 25^\circ > \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} $

$ \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ > 1 $

Поскольку значение выражения $ \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ $ больше 1, оно не попадает в область значений функции $ \cos \alpha $, которая ограничена отрезком $ [-1; 1] $. Следовательно, такое равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

2)

Для того чтобы равенство $ \sin \alpha = \tg 40^\circ $ было возможным, значение правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.

Оценим значение выражения $ \tg 40^\circ $.

Функция тангенс является возрастающей на интервале $ (-90^\circ; 90^\circ) $. Сравним $ \tg 40^\circ $ с известным значением $ \tg 45^\circ = 1 $.

Так как $ 0^\circ < 40^\circ < 45^\circ $, то $ \tg 0^\circ < \tg 40^\circ < \tg 45^\circ $.

Зная, что $ \tg 0^\circ = 0 $ и $ \tg 45^\circ = 1 $, получаем:

$ 0 < \tg 40^\circ < 1 $

Значение $ \tg 40^\circ $ принадлежит интервалу $ (0; 1) $, который полностью содержится в отрезке $ [-1; 1] $. Следовательно, существует такой угол $ \alpha $, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: возможно.