Номер 178, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x - номер 178, страница 83.

Условие.

178. Постройте график функции:

1) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = 3\text{tg} x - 2$;

3) $y = \text{ctg} \frac{2x}{3}$;

4) $y = -2\text{ctg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$.

Решение.

1) $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$

Для построения графика функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \tg x$.
   Это периодическая функция с периодом $T = \pi$.
   Вертикальные асимптоты проходят через точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   График проходит через начало координат $(0, 0)$.
2. Выполняем сдвиг (параллельный перенос).
   Функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = \tg x$ и $c = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $c > 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = \tg x$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц.
3. Итоговый график $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$.
   Период функции не изменился и равен $\pi$.
   Вертикальные асимптоты также сдвинулись вправо на $\frac{\pi}{3}$. Их новое положение определяется уравнением $x = (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Точка $(0, 0)$ базового графика переместилась в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \tg x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox.

2) $y = 3\tg x - 2$

Для построения графика функции $y = 3\tg x - 2$ необходимо выполнить преобразования графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \tg x$.
2. Выполняем растяжение вдоль оси Oy.
   Строим график функции $y_1 = 3\tg x$. Для этого нужно график $y = \tg x$ растянуть от оси Ox в 3 раза. Каждая ордината (значение y) графика умножается на 3. Например, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, 3)$. Асимптоты и нули функции останутся на своих местах.
3. Выполняем сдвиг вдоль оси Oy.
   Строим итоговый график $y = 3\tg x - 2$. Для этого необходимо сдвинуть график функции $y_1 = 3\tg x$ вниз вдоль оси Oy на 2 единицы.
4. Итоговый график $y = 3\tg x - 2$.
   Период функции не изменился и равен $\pi$.
   Вертикальные асимптоты остались прежними: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Точка $(0, 0)$ базового графика сначала осталась на месте при растяжении, а затем переместилась в точку $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = 3\tg x - 2$ получается путем растяжения графика $y = \tg x$ в 3 раза вдоль оси Oy с последующим сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

3) $y = \ctg \frac{2x}{3}$

Для построения графика функции $y = \ctg \frac{2x}{3}$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \ctg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \ctg x$.
   Это периодическая функция с периодом $T = \pi$.
   Вертикальные асимптоты проходят через точки $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выполняем растяжение вдоль оси Ox.
   Функция имеет вид $y = f(kx)$, где $f(x) = \ctg x$ и $k = \frac{2}{3}$. Поскольку $0 < k < 1$, необходимо выполнить растяжение графика $y = \ctg x$ от оси Oy в $\frac{1}{k} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$ раза.
3. Итоговый график $y = \ctg \frac{2x}{3}$.
   Период функции изменился: $T' = \frac{T}{k} = \frac{\pi}{2/3} = \frac{3\pi}{2}$.
   Вертикальные асимптоты изменили свое положение: $\frac{2x}{3} = \pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Нули функции также сдвинулись: $\frac{2x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \ctg \frac{2x}{3}$ получается путем растяжения графика функции $y = \ctg x$ в 1.5 раза от оси Oy.

4) $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$

Для построения графика данной функции необходимо последовательно выполнить несколько преобразований графика базовой функции $y = \ctg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \ctg x$.
2. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$.
   Строим график $y_1 = \ctg(x - \frac{\pi}{4})$, сдвигая график $y = \ctg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$. Асимптоты теперь находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. Растяжение и отражение.
   Строим график $y_2 = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4})$. Для этого график $y_1$ нужно растянуть в 2 раза вдоль оси Oy, а затем симметрично отразить относительно оси Ox. Теперь функция будет возрастающей на каждом интервале определения.
4. Сдвиг вверх на 1.
   Строим итоговый график $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$. Для этого сдвигаем график $y_2$ вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.
5. Итоговый график $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$.
   Период функции не изменился и равен $\pi$.
   Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ базового графика после всех преобразований перейдет в точку:
   1. Сдвиг вправо: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{3\pi}{4}, 0)$.
   2. Растяжение и отражение: $(\frac{3\pi}{4}, -2 \cdot 0) = (\frac{3\pi}{4}, 0)$.
   3. Сдвиг вверх: $(\frac{3\pi}{4}, 0 + 1) = (\frac{3\pi}{4}, 1)$. Эта точка является точкой перегиба на одной из ветвей графика.

Ответ: График функции $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ получается из графика $y = \ctg x$ последовательным применением следующих преобразований: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy, отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх на 1.