Номер 175, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Сравните:

1) $\text{tg} \frac{19\pi}{10}$ и $\text{tg} \frac{23\pi}{12}$;

2) $\text{tg} (-94^\circ)$ и $\text{tg} (-92^\circ)$;

3) $\text{tg} 4$ и $\text{tg} 4,5$;

4) $\text{ctg} \left(-\frac{21\pi}{10}\right)$ и $\text{ctg} \left(-\frac{19\pi}{9}\right)$;

5) $\text{ctg} 286^\circ$ и $\text{ctg} 288^\circ$;

6) $\text{ctg} (-7)$ и $\text{ctg} (-6,5)$.

1) Сравним $\text{tg}\frac{19\pi}{10}$ и $\text{tg}\frac{23\pi}{12}$.

Для начала упростим аргументы, используя свойство периодичности тангенса ($ \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}(x) $, где $n$ – целое число).

Для первого значения:
$\text{tg}\frac{19\pi}{10} = \text{tg}(\frac{20\pi - \pi}{10}) = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{10}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{10})$.

Для второго значения:
$\text{tg}\frac{23\pi}{12} = \text{tg}(\frac{24\pi - \pi}{12}) = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{12}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{12})$.

Теперь необходимо сравнить $\text{tg}(-\frac{\pi}{10})$ и $\text{tg}(-\frac{\pi}{12})$. Оба угла, $-\frac{\pi}{10}$ и $-\frac{\pi}{12}$, находятся в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.

Функция $y=\text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сравним аргументы: так как $\frac{1}{10} > \frac{1}{12}$, то $-\frac{\pi}{10} < -\frac{\pi}{12}$.

Поскольку функция тангенса на этом интервале возрастает, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $\text{tg}(-\frac{\pi}{10}) < \text{tg}(-\frac{\pi}{12})$.

Следовательно, $\text{tg}\frac{19\pi}{10} < \text{tg}\frac{23\pi}{12}$.

Ответ: $\text{tg}\frac{19\pi}{10} < \text{tg}\frac{23\pi}{12}$.

2) Сравним $\text{tg}(-94^\circ)$ и $\text{tg}(-92^\circ)$.

Воспользуемся периодичностью тангенса (период $180^\circ$):
$\text{tg}(-94^\circ) = \text{tg}(-94^\circ + 180^\circ) = \text{tg}(86^\circ)$.
$\text{tg}(-92^\circ) = \text{tg}(-92^\circ + 180^\circ) = \text{tg}(88^\circ)$.

Теперь сравним $\text{tg}(86^\circ)$ и $\text{tg}(88^\circ)$. Оба угла, $86^\circ$ и $88^\circ$, находятся в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, где функция $y=\text{tg}(x)$ возрастает.

Так как $86^\circ < 88^\circ$, то из-за возрастания тангенса на этом интервале следует, что $\text{tg}(86^\circ) < \text{tg}(88^\circ)$.

Следовательно, $\text{tg}(-94^\circ) < \text{tg}(-92^\circ)$.

Ответ: $\text{tg}(-94^\circ) < \text{tg}(-92^\circ)$.

3) Сравним $\text{tg} 4$ и $\text{tg} 4,5$ (углы в радианах).

Определим, в каких четвертях лежат данные углы. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Оба угла, 4 и 4,5, принадлежат интервалу $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, так как $3,14 < 4 < 4,71$ и $3,14 < 4,5 < 4,71$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти.

Функция $y=\text{tg}(x)$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Так как $4 < 4,5$, и оба угла лежат в интервале возрастания тангенса, то $\text{tg}(4) < \text{tg}(4,5)$.

Ответ: $\text{tg} 4 < \text{tg} 4,5$.

4) Сравним $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{10})$ и $\text{ctg}(-\frac{19\pi}{9})$.

Используем периодичность котангенса ($ \text{ctg}(x + \pi n) = \text{ctg}(x) $, где $n$ – целое число).
$\text{ctg}(-\frac{21\pi}{10}) = \text{ctg}(-\frac{21\pi}{10} + 2\pi) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{10})$.
$\text{ctg}(-\frac{19\pi}{9}) = \text{ctg}(-\frac{19\pi}{9} + 2\pi) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{9})$.

Теперь сравним $\text{ctg}(-\frac{\pi}{10})$ и $\text{ctg}(-\frac{\pi}{9})$. Оба угла, $-\frac{\pi}{10}$ и $-\frac{\pi}{9}$, принадлежат интервалу $(-\pi, 0)$.

Функция $y=\text{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(-\pi, 0)$.

Сравним аргументы: так как $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$, то $-\frac{\pi}{9} < -\frac{\pi}{10}$.

Поскольку функция котангенса на этом интервале убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}(-\frac{\pi}{9}) > \text{ctg}(-\frac{\pi}{10})$.

Следовательно, $\text{ctg}(-\frac{19\pi}{9}) > \text{ctg}(-\frac{21\pi}{10})$.

Ответ: $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{10}) < \text{ctg}(-\frac{19\pi}{9})$.

5) Сравним $\text{ctg} 286^\circ$ и $\text{ctg} 288^\circ$.

Оба угла, $286^\circ$ и $288^\circ$, находятся в четвертой координатной четверти, то есть в интервале $(270^\circ, 360^\circ)$.

Функция $y=\text{ctg}(x)$ убывает на интервале $(180^\circ, 360^\circ)$.

Так как $286^\circ < 288^\circ$, и оба угла лежат в интервале убывания котангенса, то $\text{ctg}(286^\circ) > \text{ctg}(288^\circ)$.

Ответ: $\text{ctg} 286^\circ > \text{ctg} 288^\circ$.

6) Сравним $\text{ctg}(-7)$ и $\text{ctg}(-6,5)$ (углы в радианах).

Определим интервал монотонности для функции котангенса, которому принадлежат данные углы. Интервалы монотонности котангенса имеют вид $(\pi n, \pi(n+1))$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
$-2\pi \approx -6,28$; $-3\pi \approx -9,42$.

Оба угла, -7 и -6,5, принадлежат интервалу $(-3\pi, -2\pi)$, так как $-9,42 < -7 < -6,28$ и $-9,42 < -6,5 < -6,28$.

Функция $y=\text{ctg}(x)$ убывает на интервале $(-3\pi, -2\pi)$.

Сравним аргументы: $-7 < -6,5$.

Поскольку функция котангенса на этом интервале убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}(-7) > \text{ctg}(-6,5)$.

Ответ: $\text{ctg}(-7) > \text{ctg}(-6,5)$.