Номер 174, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$ укажите:

1) нули функции $y = ctg x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = ctg x$.

1) нули функции y = ctg x;

Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Чтобы найти нули, необходимо решить уравнение $\operatorname{ctg} x = 0$.

Функция котангенса определяется как отношение $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Уравнение $\frac{\cos x}{\sin x} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos x = 0, \\ \sin x \ne 0. \end{cases} $

Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x$ равен $1$ или $-1$, то есть не равен нулю. Следовательно, нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ задаются формулой $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{5\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{5}{3}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:

$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{3} - \frac{1}{2}$

$-\frac{2}{6} - \frac{3}{6} \le k \le \frac{10}{6} - \frac{3}{6}$

$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, этому условию удовлетворяют значения $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$.
• При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$. Это значение также входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$, так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, а $\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции y = ctg x.

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ включает все действительные числа, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль, то есть $\sin x \ne 0$.

Таким образом, числа, которые не принадлежат области определения, находятся из уравнения $\sin x = 0$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{3} \le \pi n \le \frac{5\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{3} \le n \le \frac{5}{3}$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, этому условию удовлетворяют значения $n=0$ и $n=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=0$: $x = \pi \cdot 0 = 0$. Это значение входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$.
• При $n=1$: $x = \pi \cdot 1 = \pi$. Это значение также входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$.

Ответ: $0; \pi$.