Номер 167, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$ укажите:

1) нули функции $y = \cos x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

1) нули функции y = cos x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \cos x$ необходимо решить уравнение $\cos x = 0$.
Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Найдем все такие значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:
$-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{7\pi}{3}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{7}{3}$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:
$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{7}{3} - \frac{1}{2}$
$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{11}{6}$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
Оба значения входят в заданный промежуток.
Ответ: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

2) значения аргумента, при которых функция y = cos x принимает наибольшее и наименьшее значения.

Область значений функции $y = \cos x$ – это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее равно -1. Так как длина заданного промежутка $[-\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$ равна $\frac{8\pi}{3} > 2\pi$, то функция на этом промежутке достигает и своего наибольшего, и своего наименьшего значения.

Наибольшее значение:
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, при $\cos x = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $n$, при которых $x$ попадает в заданный промежуток:
$-\frac{\pi}{3} \le 2\pi n \le \frac{7\pi}{3}$
Разделив на $2\pi$, получим:
$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{7}{6}$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
Соответствующие значения $x$:
При $n=0$: $x = 2\pi \cdot 0 = 0$.
При $n=1$: $x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.

Наименьшее значение:
Функция принимает наименьшее значение, равное -1, при $\cos x = -1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $m$, при которых $x$ попадает в заданный промежуток:
$-\frac{\pi}{3} \le \pi + 2\pi m \le \frac{7\pi}{3}$
Разделив на $\pi$ и вычтя 1, получим:
$-\frac{1}{3} - 1 \le 2m \le \frac{7}{3} - 1$
$-\frac{4}{3} \le 2m \le \frac{4}{3}$
Разделив на 2, получим:
$-\frac{2}{3} \le m \le \frac{2}{3}$
Этому неравенству удовлетворяет единственное целое значение $m=0$.
Соответствующее значение $x$:
При $m=0$: $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$.

Ответ: функция принимает наибольшее значение при $x=0$ и $x=2\pi$; функция принимает наименьшее значение при $x=\pi$.