Номер 161, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Найдите значение выражения:

1) $\sin 420^\circ$;

2) $\cos 600^\circ$;

3) $\text{tg } 390^\circ$;

4) $\text{ctg } (-780^\circ)$;

5) $\cos \frac{23\pi}{4}$;

6) $\text{tg } \left(-\frac{13\pi}{3}\right)$.

1) Для нахождения значения $\sin 420^\circ$ воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $360^\circ$, поэтому $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin \alpha$ для любого целого $k$.
Представим угол $420^\circ$ в виде суммы $360^\circ$ и некоторого угла:
$420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$.
Следовательно, $\sin 420^\circ = \sin(360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ$.
Значение $\sin 60^\circ$ является табличным: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos 600^\circ$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $360^\circ$.
Представим угол $600^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$600^\circ = 360^\circ + 240^\circ$.
Следовательно, $\cos 600^\circ = \cos(360^\circ + 240^\circ) = \cos 240^\circ$.
Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти. Для приведения к углу в первой четверти воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$:
$\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ$.
Значение $\cos 60^\circ$ является табличным: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\cos 600^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Для нахождения значения $\text{tg} 390^\circ$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $180^\circ$ (также можно использовать $360^\circ$).
Представим угол $390^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$.
Следовательно, $\text{tg} 390^\circ = \text{tg}(360^\circ + 30^\circ) = \text{tg} 30^\circ$.
Значение $\text{tg} 30^\circ$ является табличным: $\text{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Для нахождения значения $\text{ctg}(-780^\circ)$ воспользуемся свойствами функции котангенс. Котангенс - нечетная функция, то есть $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Период котангенса равен $180^\circ$ (также можно использовать $360^\circ$).
$\text{ctg}(-780^\circ) = -\text{ctg}(780^\circ)$.
Представим угол $780^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$780^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ = 720^\circ + 60^\circ$.
Следовательно, $\text{ctg}(780^\circ) = \text{ctg}(720^\circ + 60^\circ) = \text{ctg}(60^\circ)$.
Таким образом, $\text{ctg}(-780^\circ) = -\text{ctg}(60^\circ)$.
Значение $\text{ctg}(60^\circ)$ является табличным: $\text{ctg}(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значит, $\text{ctg}(-780^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5) Для нахождения значения $\cos \frac{23\pi}{4}$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$.
Представим угол $\frac{23\pi}{4}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $2\pi$.
$\frac{23\pi}{4} = \frac{16\pi + 7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 4\pi + \frac{7\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{7\pi}{4}$.
Следовательно, $\cos \frac{23\pi}{4} = \cos(4\pi + \frac{7\pi}{4}) = \cos \frac{7\pi}{4}$.
Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой четверти. Для приведения к углу в первой четверти воспользуемся формулой приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$:
$\cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4}$.
Значение $\cos \frac{\pi}{4}$ является табличным: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Другой способ: $\frac{23\pi}{4} = \frac{24\pi - \pi}{4} = 6\pi - \frac{\pi}{4}$.
$\cos(\frac{23\pi}{4}) = \cos(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4})$. Так как косинус - четная функция, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

6) Для нахождения значения $\text{tg}(-\frac{13\pi}{3})$ воспользуемся свойствами функции тангенс. Тангенс - нечетная функция, то есть $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$. Период тангенса равен $\pi$.
$\text{tg}(-\frac{13\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{13\pi}{3})$.
Представим угол $\frac{13\pi}{3}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.
$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\text{tg}(\frac{13\pi}{3}) = \text{tg}(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3})$.
Таким образом, $\text{tg}(-\frac{13\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{3})$ является табличным: $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Значит, $\text{tg}(-\frac{13\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.