Номер 155, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Какой знак имеет:

1) $\sin 230^\circ;$

2) $\cos 170^\circ;$

3) $\text{tg } 330^\circ;$

4) $\text{ctg } (-230^\circ);$

5) $\cos 3;$

6) $\sin \frac{13\pi}{8}?$

1) sin230°

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Углы от 0° до 90° находятся в I четверти, от 90° до 180° — во II, от 180° до 270° — в III, от 270° до 360° — в IV. Угол в 230° удовлетворяет неравенству $180° < 230° < 270°$. Следовательно, угол 230° находится в III четверти. В III четверти синус (ордината точки на единичной окружности) имеет отрицательный знак. Таким образом, $\sin 230° < 0$.

Ответ: минус.

2) cos170°

Угол в 170° удовлетворяет неравенству $90° < 170° < 180°$. Следовательно, угол 170° находится во II четверти. Во II четверти косинус (абсцисса точки на единичной окружности) имеет отрицательный знак. Таким образом, $\cos 170° < 0$.

Ответ: минус.

3) tg330°

Угол в 330° удовлетворяет неравенству $270° < 330° < 360°$. Следовательно, угол 330° находится в IV четверти. Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу. В IV четверти синус отрицателен, а косинус положителен, поэтому их отношение отрицательно. Таким образом, $\text{tg}\,330° < 0$.

Ответ: минус.

4) ctg(-230°)

Котангенс является нечетной функцией, то есть $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Следовательно, $\text{ctg}(-230°) = -\text{ctg}(230°)$. Теперь определим знак $\text{ctg}(230°)$. Угол 230° находится в III четверти ($180° < 230° < 270°$). В III четверти и синус, и косинус отрицательны, поэтому их отношение (котангенс) положительно: $\text{ctg}(230°) > 0$. Тогда $-\text{ctg}(230°) < 0$. Следовательно, $\text{ctg}(-230°)$ имеет отрицательный знак.

Ответ: минус.

5) cos3

Так как знак градуса отсутствует, угол задан в радианах. Чтобы определить четверть, сравним значение угла 3 с границами четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Так как $1.57 < 3 < 3.14159$, выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Следовательно, угол в 3 радиана находится во II четверти. Во II четверти косинус имеет отрицательный знак. Таким образом, $\cos 3 < 0$.

Ответ: минус.

6) sin(13π/8)

Угол задан в радианах. Для определения четверти представим ее границы в виде дробей со знаменателем 8: $\pi = \frac{8\pi}{8}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8}$, $2\pi = \frac{16\pi}{8}$. Сравниваем угол $\frac{13\pi}{8}$ с этими значениями. Очевидно, что $\frac{12\pi}{8} < \frac{13\pi}{8} < \frac{16\pi}{8}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \frac{13\pi}{8} < 2\pi$. Следовательно, угол $\frac{13\pi}{8}$ находится в IV четверти. В IV четверти синус имеет отрицательный знак. Таким образом, $\sin \frac{13\pi}{8} < 0$.

Ответ: минус.