Номер 159, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$;

2) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$?

1)

По условию даны два неравенства: $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha \cdot cos \alpha < 0$.
Первое неравенство $cos \alpha < 0$ означает, что угол $\alpha$ принадлежит либо II, либо III координатной четверти (так как косинус, соответствующий абсциссе точки на единичной окружности, отрицателен в этих четвертях).
Второе неравенство $sin \alpha \cdot cos \alpha < 0$ говорит о том, что $sin \alpha$ и $cos \alpha$ имеют разные знаки.
Так как из первого условия мы знаем, что $cos \alpha < 0$, то для выполнения второго условия необходимо, чтобы $sin \alpha$ был положителен: $sin \alpha > 0$.
Теперь нам нужно найти четверть, в которой одновременно выполняются условия $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha > 0$.
Вспомним знаки тригонометрических функций по четвертям:

• I четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha > 0$
• II четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha < 0$
• III четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha < 0$
• IV четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$

Условиям $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha > 0$ удовлетворяет только II четверть.
Ответ: II четверть.

2)

По условию даны равенство $|cos \alpha| = -cos \alpha$ и неравенство $sin \alpha \cdot cos \alpha > 0$.
Равенство $|x| = -x$ выполняется только тогда, когда $x \le 0$. Следовательно, из первого условия $|cos \alpha| = -cos \alpha$ следует, что $cos \alpha \le 0$.
Из второго условия $sin \alpha \cdot cos \alpha > 0$ следует, что ни $sin \alpha$, ни $cos \alpha$ не могут быть равны нулю. Значит, $cos \alpha$ не может быть равен нулю. Таким образом, из первого условия получаем строгое неравенство $cos \alpha < 0$. Это означает, что угол $\alpha$ принадлежит либо II, либо III координатной четверти.
Второе условие $sin \alpha \cdot cos \alpha > 0$ говорит о том, что $sin \alpha$ и $cos \alpha$ имеют одинаковые знаки.
Поскольку мы уже установили, что $cos \alpha < 0$, то и $sin \alpha$ должен быть отрицательным: $sin \alpha < 0$.
Теперь нам нужно найти четверть, в которой одновременно выполняются условия $cos \alpha < 0$ и $sin \alpha < 0$.
Этим условиям удовлетворяет только III четверть.
Ответ: III четверть.