Номер 168, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Сравните:

1) $ \sin \frac{13\pi}{7} $ и $ \sin \frac{15\pi}{8} $;

2) $ \sin (-178^{\circ}) $ и $ \sin (-179^{\circ}) $;

3) $ \sin 4,5 $ и $ \sin 4 $;

4) $ \cos \frac{19\pi}{10} $ и $ \cos \frac{23\pi}{12} $;

5) $ \cos 271^{\circ} $ и $ \cos 272^{\circ} $;

6) $ \cos (-8) $ и $ \cos (-9) $.

1) Сравнить $sin\frac{13\pi}{7}$ и $sin\frac{15\pi}{8}$.

Сначала преобразуем аргументы тригонометрических функций, чтобы определить их положение на единичной окружности.

Для первого значения: $\frac{13\pi}{7} = \frac{14\pi - \pi}{7} = 2\pi - \frac{\pi}{7}$. Этот угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.

Используя формулы приведения, получаем: $sin\frac{13\pi}{7} = sin(2\pi - \frac{\pi}{7}) = -sin\frac{\pi}{7}$.

Для второго значения: $\frac{15\pi}{8} = \frac{16\pi - \pi}{8} = 2\pi - \frac{\pi}{8}$. Этот угол также находится в четвертой четверти, и синус здесь отрицателен.

Используя формулы приведения, получаем: $sin\frac{15\pi}{8} = sin(2\pi - \frac{\pi}{8}) = -sin\frac{\pi}{8}$.

Теперь задача сводится к сравнению $-sin\frac{\pi}{7}$ и $-sin\frac{\pi}{8}$. Это равносильно сравнению $sin\frac{\pi}{7}$ и $sin\frac{\pi}{8}$ с последующим изменением знака неравенства.

Сравним углы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$. Поскольку $7 < 8$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$, принадлежат первой четверти (интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$), на котором функция синус возрастает. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Так как $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$, то $sin\frac{\pi}{7} > sin\frac{\pi}{8}$.

Умножая обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-sin\frac{\pi}{7} < -sin\frac{\pi}{8}$.

Следовательно, $sin\frac{13\pi}{7} < sin\frac{15\pi}{8}$.

Ответ: $sin\frac{13\pi}{7} < sin\frac{15\pi}{8}$.

2) Сравнить $sin(-178^\circ)$ и $sin(-179^\circ)$.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $sin(-x) = -sin(x)$.

$sin(-178^\circ) = -sin(178^\circ)$

$sin(-179^\circ) = -sin(179^\circ)$

Теперь нам нужно сравнить $-sin(178^\circ)$ и $-sin(179^\circ)$. Для этого сравним $sin(178^\circ)$ и $sin(179^\circ)$.

Оба угла, $178^\circ$ и $179^\circ$, находятся во второй четверти (интервал $(90^\circ, 180^\circ)$). В этой четверти функция синус положительна и убывает.

Так как $178^\circ < 179^\circ$, а функция синус на данном интервале убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $sin(178^\circ) > sin(179^\circ)$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-sin(178^\circ) < -sin(179^\circ)$.

Следовательно, $sin(-178^\circ) < sin(-179^\circ)$.

Ответ: $sin(-178^\circ) < sin(-179^\circ)$.

3) Сравнить $sin(4,5)$ и $sin(4)$ (углы в радианах).

Определим, в каких четвертях находятся углы 4 и 4,5 радиана. Используем приближенные значения $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ и $\pi < 4,5 < \frac{3\pi}{2}$, оба угла находятся в третьей четверти.

На интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ (третья четверть) функция синус убывает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $4,5 > 4$, то $sin(4,5) < sin(4)$.

Ответ: $sin(4,5) < sin(4)$.

4) Сравнить $cos\frac{19\pi}{10}$ и $cos\frac{23\pi}{12}$.

Преобразуем аргументы, чтобы определить их положение на единичной окружности.

Для первого значения: $\frac{19\pi}{10} = \frac{20\pi - \pi}{10} = 2\pi - \frac{\pi}{10}$. Этот угол находится в четвертой четверти, где косинус положителен.

По формулам приведения: $cos\frac{19\pi}{10} = cos(2\pi - \frac{\pi}{10}) = cos\frac{\pi}{10}$.

Для второго значения: $\frac{23\pi}{12} = \frac{24\pi - \pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12}$. Этот угол также находится в четвертой четверти, и косинус здесь положителен.

По формулам приведения: $cos\frac{23\pi}{12} = cos(2\pi - \frac{\pi}{12}) = cos\frac{\pi}{12}$.

Теперь задача сводится к сравнению $cos\frac{\pi}{10}$ и $cos\frac{\pi}{12}$.

Сравним углы $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{12}$. Поскольку $10 < 12$, то $\frac{1}{10} > \frac{1}{12}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{10} > \frac{\pi}{12}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{12}$, принадлежат первой четверти (интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$), на котором функция косинус убывает. Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $\frac{\pi}{10} > \frac{\pi}{12}$, то $cos\frac{\pi}{10} < cos\frac{\pi}{12}$.

Следовательно, $cos\frac{19\pi}{10} < cos\frac{23\pi}{12}$.

Ответ: $cos\frac{19\pi}{10} < cos\frac{23\pi}{12}$.

5) Сравнить $cos(271^\circ)$ и $cos(272^\circ)$.

Оба угла, $271^\circ$ и $272^\circ$, находятся в четвертой четверти (интервал $(270^\circ, 360^\circ)$).

На этом интервале функция косинус возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Так как $271^\circ < 272^\circ$, то $cos(271^\circ) < cos(272^\circ)$.

Ответ: $cos(271^\circ) < cos(272^\circ)$.

6) Сравнить $cos(-8)$ и $cos(-9)$ (углы в радианах).

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$.

Следовательно, нам нужно сравнить $cos(8)$ и $cos(9)$.

Определим, в каких четвертях находятся углы 8 и 9 радиан. Используем приближенные значения: $2\pi \approx 6,28$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$, $3\pi \approx 9,42$.

Для угла 8 радиан: $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$. Этот угол эквивалентен углу во второй четверти.

Для угла 9 радиан: $\frac{5\pi}{2} < 9 < 3\pi$. Этот угол также эквивалентен углу во второй четверти.

Таким образом, оба угла, 8 и 9, принадлежат интервалу $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$, который соответствует интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ на единичной окружности. На этом интервале функция косинус убывает.

Поскольку $8 < 9$, а функция косинус на данном интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, $cos(8) > cos(9)$.

А значит, $cos(-8) > cos(-9)$.

Ответ: $cos(-8) > cos(-9)$.