Страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Какие из указанных точек принадлежат графику функции:

1) $y = \sin x$;

2) $y = \cos x$:

1) A $(-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$;

2) B $(9\pi; -1)$;

3) C $(\frac{13\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$;

4) D $(-\frac{11\pi}{3}; \frac{1}{2})$;

5) E $(-\frac{5\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) $A(-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{7\pi}{6}$: $\sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки A: $\frac{1}{2} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, точка A не принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{7\pi}{6}$: $\cos(-\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки A: $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, точка A принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка A принадлежит графику функции $y = \cos x$.

2) $B(9\pi; -1)$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = 9\pi$: $\sin(9\pi) = \sin(8\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
Сравниваем с координатой y точки B: $0 \neq -1$. Следовательно, точка B не принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = 9\pi$: $\cos(9\pi) = \cos(8\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Сравниваем с координатой y точки B: $-1 = -1$. Следовательно, точка B принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка B принадлежит графику функции $y = \cos x$.

3) $C(\frac{13\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{13\pi}{4}$: $\sin(\frac{13\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки C: $-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка C принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{13\pi}{4}$: $\cos(\frac{13\pi}{4}) = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки C: $-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка C принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка C принадлежит графикам функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$.

4) $D(-\frac{11\pi}{3}; \frac{1}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{11\pi}{3}$: $\sin(-\frac{11\pi}{3}) = -\sin(\frac{11\pi}{3}) = -\sin(4\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки D: $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, точка D не принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{11\pi}{3}$: $\cos(-\frac{11\pi}{3}) = \cos(\frac{11\pi}{3}) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки D: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, точка D принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка D принадлежит графику функции $y = \cos x$.

5) $E(-\frac{5\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$
Для функции $y = \sin x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{5\pi}{4}$: $\sin(-\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки E: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка E принадлежит графику $y = \sin x$.
Для функции $y = \cos x$:
Вычисляем значение функции в точке $x = -\frac{5\pi}{4}$: $\cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравниваем с координатой y точки E: $-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, точка E не принадлежит графику $y = \cos x$.
Ответ: точка E принадлежит графику функции $y = \sin x$.

Итоговый ответ:
1) Графику функции $y = \sin x$ принадлежат точки: C и E.
2) Графику функции $y = \cos x$ принадлежат точки: A, B, C и D.

167. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$ укажите:

1) нули функции $y = \cos x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

1) нули функции y = cos x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \cos x$ необходимо решить уравнение $\cos x = 0$.
Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Найдем все такие значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:
$-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{7\pi}{3}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{7}{3}$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:
$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{7}{3} - \frac{1}{2}$
$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{11}{6}$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
Оба значения входят в заданный промежуток.
Ответ: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

2) значения аргумента, при которых функция y = cos x принимает наибольшее и наименьшее значения.

Область значений функции $y = \cos x$ – это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее равно -1. Так как длина заданного промежутка $[-\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$ равна $\frac{8\pi}{3} > 2\pi$, то функция на этом промежутке достигает и своего наибольшего, и своего наименьшего значения.

Наибольшее значение:
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, при $\cos x = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $n$, при которых $x$ попадает в заданный промежуток:
$-\frac{\pi}{3} \le 2\pi n \le \frac{7\pi}{3}$
Разделив на $2\pi$, получим:
$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{7}{6}$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
Соответствующие значения $x$:
При $n=0$: $x = 2\pi \cdot 0 = 0$.
При $n=1$: $x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.

Наименьшее значение:
Функция принимает наименьшее значение, равное -1, при $\cos x = -1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $m$, при которых $x$ попадает в заданный промежуток:
$-\frac{\pi}{3} \le \pi + 2\pi m \le \frac{7\pi}{3}$
Разделив на $\pi$ и вычтя 1, получим:
$-\frac{1}{3} - 1 \le 2m \le \frac{7}{3} - 1$
$-\frac{4}{3} \le 2m \le \frac{4}{3}$
Разделив на 2, получим:
$-\frac{2}{3} \le m \le \frac{2}{3}$
Этому неравенству удовлетворяет единственное целое значение $m=0$.
Соответствующее значение $x$:
При $m=0$: $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$.

Ответ: функция принимает наибольшее значение при $x=0$ и $x=2\pi$; функция принимает наименьшее значение при $x=\pi$.

168. Сравните:

1) $ \sin \frac{13\pi}{7} $ и $ \sin \frac{15\pi}{8} $;

2) $ \sin (-178^{\circ}) $ и $ \sin (-179^{\circ}) $;

3) $ \sin 4,5 $ и $ \sin 4 $;

4) $ \cos \frac{19\pi}{10} $ и $ \cos \frac{23\pi}{12} $;

5) $ \cos 271^{\circ} $ и $ \cos 272^{\circ} $;

6) $ \cos (-8) $ и $ \cos (-9) $.

1) Сравнить $sin\frac{13\pi}{7}$ и $sin\frac{15\pi}{8}$.

Сначала преобразуем аргументы тригонометрических функций, чтобы определить их положение на единичной окружности.

Для первого значения: $\frac{13\pi}{7} = \frac{14\pi - \pi}{7} = 2\pi - \frac{\pi}{7}$. Этот угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.

Используя формулы приведения, получаем: $sin\frac{13\pi}{7} = sin(2\pi - \frac{\pi}{7}) = -sin\frac{\pi}{7}$.

Для второго значения: $\frac{15\pi}{8} = \frac{16\pi - \pi}{8} = 2\pi - \frac{\pi}{8}$. Этот угол также находится в четвертой четверти, и синус здесь отрицателен.

Используя формулы приведения, получаем: $sin\frac{15\pi}{8} = sin(2\pi - \frac{\pi}{8}) = -sin\frac{\pi}{8}$.

Теперь задача сводится к сравнению $-sin\frac{\pi}{7}$ и $-sin\frac{\pi}{8}$. Это равносильно сравнению $sin\frac{\pi}{7}$ и $sin\frac{\pi}{8}$ с последующим изменением знака неравенства.

Сравним углы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$. Поскольку $7 < 8$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$, принадлежат первой четверти (интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$), на котором функция синус возрастает. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Так как $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$, то $sin\frac{\pi}{7} > sin\frac{\pi}{8}$.

Умножая обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-sin\frac{\pi}{7} < -sin\frac{\pi}{8}$.

Следовательно, $sin\frac{13\pi}{7} < sin\frac{15\pi}{8}$.

Ответ: $sin\frac{13\pi}{7} < sin\frac{15\pi}{8}$.

2) Сравнить $sin(-178^\circ)$ и $sin(-179^\circ)$.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $sin(-x) = -sin(x)$.

$sin(-178^\circ) = -sin(178^\circ)$

$sin(-179^\circ) = -sin(179^\circ)$

Теперь нам нужно сравнить $-sin(178^\circ)$ и $-sin(179^\circ)$. Для этого сравним $sin(178^\circ)$ и $sin(179^\circ)$.

Оба угла, $178^\circ$ и $179^\circ$, находятся во второй четверти (интервал $(90^\circ, 180^\circ)$). В этой четверти функция синус положительна и убывает.

Так как $178^\circ < 179^\circ$, а функция синус на данном интервале убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $sin(178^\circ) > sin(179^\circ)$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-sin(178^\circ) < -sin(179^\circ)$.

Следовательно, $sin(-178^\circ) < sin(-179^\circ)$.

Ответ: $sin(-178^\circ) < sin(-179^\circ)$.

3) Сравнить $sin(4,5)$ и $sin(4)$ (углы в радианах).

Определим, в каких четвертях находятся углы 4 и 4,5 радиана. Используем приближенные значения $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ и $\pi < 4,5 < \frac{3\pi}{2}$, оба угла находятся в третьей четверти.

На интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ (третья четверть) функция синус убывает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $4,5 > 4$, то $sin(4,5) < sin(4)$.

Ответ: $sin(4,5) < sin(4)$.

4) Сравнить $cos\frac{19\pi}{10}$ и $cos\frac{23\pi}{12}$.

Преобразуем аргументы, чтобы определить их положение на единичной окружности.

Для первого значения: $\frac{19\pi}{10} = \frac{20\pi - \pi}{10} = 2\pi - \frac{\pi}{10}$. Этот угол находится в четвертой четверти, где косинус положителен.

По формулам приведения: $cos\frac{19\pi}{10} = cos(2\pi - \frac{\pi}{10}) = cos\frac{\pi}{10}$.

Для второго значения: $\frac{23\pi}{12} = \frac{24\pi - \pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12}$. Этот угол также находится в четвертой четверти, и косинус здесь положителен.

По формулам приведения: $cos\frac{23\pi}{12} = cos(2\pi - \frac{\pi}{12}) = cos\frac{\pi}{12}$.

Теперь задача сводится к сравнению $cos\frac{\pi}{10}$ и $cos\frac{\pi}{12}$.

Сравним углы $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{12}$. Поскольку $10 < 12$, то $\frac{1}{10} > \frac{1}{12}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{10} > \frac{\pi}{12}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{12}$, принадлежат первой четверти (интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$), на котором функция косинус убывает. Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $\frac{\pi}{10} > \frac{\pi}{12}$, то $cos\frac{\pi}{10} < cos\frac{\pi}{12}$.

Следовательно, $cos\frac{19\pi}{10} < cos\frac{23\pi}{12}$.

Ответ: $cos\frac{19\pi}{10} < cos\frac{23\pi}{12}$.

5) Сравнить $cos(271^\circ)$ и $cos(272^\circ)$.

Оба угла, $271^\circ$ и $272^\circ$, находятся в четвертой четверти (интервал $(270^\circ, 360^\circ)$).

На этом интервале функция косинус возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Так как $271^\circ < 272^\circ$, то $cos(271^\circ) < cos(272^\circ)$.

Ответ: $cos(271^\circ) < cos(272^\circ)$.

6) Сравнить $cos(-8)$ и $cos(-9)$ (углы в радианах).

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$.

Следовательно, нам нужно сравнить $cos(8)$ и $cos(9)$.

Определим, в каких четвертях находятся углы 8 и 9 радиан. Используем приближенные значения: $2\pi \approx 6,28$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$, $3\pi \approx 9,42$.

Для угла 8 радиан: $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$. Этот угол эквивалентен углу во второй четверти.

Для угла 9 радиан: $\frac{5\pi}{2} < 9 < 3\pi$. Этот угол также эквивалентен углу во второй четверти.

Таким образом, оба угла, 8 и 9, принадлежат интервалу $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$, который соответствует интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ на единичной окружности. На этом интервале функция косинус убывает.

Поскольку $8 < 9$, а функция косинус на данном интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, $cos(8) > cos(9)$.

А значит, $cos(-8) > cos(-9)$.

Ответ: $cos(-8) > cos(-9)$.

169. Определите знак разности:

1) $\sin 26^\circ - \cos 26^\circ$;

2) $\cos 39^\circ - \sin 44^\circ$;

3) $\sin 64^\circ - \cos 32^\circ$.

1) $\sin 26° - \cos 26°$

Для определения знака разности сравним значения $\sin 26°$ и $\cos 26°$. Для этого приведем обе функции к синусу, используя формулу приведения $\cos x = \sin(90° - x)$.

Преобразуем выражение:

$\sin 26° - \cos 26° = \sin 26° - \sin(90° - 26°) = \sin 26° - \sin 64°$.

Функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $[0°; 90°]$. Поскольку угол $26°$ меньше, чем $64°$, то и значение синуса для этого угла будет меньше:

$\sin 26° < \sin 64°$.

Следовательно, разность $\sin 26° - \sin 64°$ отрицательна.

Ответ: знак минус (–).

2) $\cos 39° - \sin 44°$

Чтобы определить знак разности, приведем обе функции к одной, например, к синусу. Воспользуемся формулой приведения $\cos x = \sin(90° - x)$.

Преобразуем $\cos 39°$:

$\cos 39° = \sin(90° - 39°) = \sin 51°$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде: $\sin 51° - \sin 44°$.

Функция $y = \sin x$ возрастает на отрезке $[0°; 90°]$. Так как $51° > 44°$, то $\sin 51° > \sin 44°$.

Следовательно, разность $\sin 51° - \sin 44°$ положительна.

Ответ: знак плюс (+).

3) $\sin 64° - \cos 32°$

Для определения знака этой разности воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.

Представим $\sin 64°$ как $\sin(2 \cdot 32°)$:

$\sin 64° = 2 \sin 32° \cos 32°$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sin 64° - \cos 32° = 2 \sin 32° \cos 32° - \cos 32°$.

Вынесем общий множитель $\cos 32°$ за скобки:

$\cos 32° (2 \sin 32° - 1)$.

Теперь определим знаки каждого из множителей.

1. Угол $32°$ находится в первой четверти ($0° < 32° < 90°$), поэтому $\cos 32°$ имеет положительный знак.

2. Для определения знака второго множителя $(2 \sin 32° - 1)$, сравним $\sin 32°$ со значением $1/2$. Известно, что $\sin 30° = 1/2$. Так как функция $y = \sin x$ возрастает на промежутке $[0°; 90°]$ и $32° > 30°$, то $\sin 32° > \sin 30°$, то есть $\sin 32° > 1/2$. Отсюда следует, что $2 \sin 32° > 1$, а значит, выражение $2 \sin 32° - 1$ положительно.

Произведение двух положительных множителей ($\cos 32° > 0$ и $2 \sin 32° - 1 > 0$) является положительным числом.

Следовательно, $\sin 64° - \cos 32° > 0$.

Ответ: знак плюс (+).

170. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \sqrt{2} \sin 46^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^{\circ}$?

1) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \sin 46^\circ $

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части, то есть $ \sqrt{2} \sin 46^\circ $, должно принадлежать области значений функции синус. Область значений функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1; 1] $. Следовательно, должно выполняться неравенство $ -1 \le \sqrt{2} \sin 46^\circ \le 1 $.

Оценим значение выражения $ \sqrt{2} \sin 46^\circ $.

Функция синус возрастает в первой четверти, то есть на промежутке от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $. Поскольку $ 46^\circ > 45^\circ $, то и значение синуса для большего угла будет больше:

$ \sin 46^\circ > \sin 45^\circ $

Мы знаем, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставим это значение в неравенство:

$ \sin 46^\circ > \frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь умножим обе части неравенства на $ \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} > 0 $, знак неравенства не изменится:

$ \sqrt{2} \sin 46^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sqrt{2} \sin 46^\circ > \frac{2}{2} $

$ \sqrt{2} \sin 46^\circ > 1 $

Мы получили, что значение выражения в правой части равенства строго больше 1. Однако максимальное значение, которое может принимать $ \sin \alpha $, равно 1. Таким образом, не существует такого угла $ \alpha $, для которого $ \sin \alpha $ был бы больше 1. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: равенство невозможно.

2) $ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ $

Аналогично первому пункту, данное равенство возможно только в том случае, если значение выражения в правой части принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $ [-1; 1] $. Проверим, выполняется ли условие $ -1 \le \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ \le 1 $.

Преобразуем выражение в правой части. Заметим, что $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Отсюда $ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sin 60^\circ} $.

Подставим это в правую часть исходного равенства:

$ \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ = \frac{1}{\sin 60^\circ} \cdot \sin 59^\circ = \frac{\sin 59^\circ}{\sin 60^\circ} $

Теперь оценим значение полученной дроби $ \frac{\sin 59^\circ}{\sin 60^\circ} $.

Углы $ 59^\circ $ и $ 60^\circ $ находятся в первой четверти, где синус положителен и возрастает. Так как $ 0^\circ < 59^\circ < 60^\circ $, то выполняется неравенство $ 0 < \sin 59^\circ < \sin 60^\circ $.

Поскольку числитель дроби $ \sin 59^\circ $ положителен и меньше знаменателя $ \sin 60^\circ $, то значение всей дроби находится в интервале от 0 до 1:

$ 0 < \frac{\sin 59^\circ}{\sin 60^\circ} < 1 $

Значение правой части равенства принадлежит интервалу $ (0; 1) $, который является частью отрезка $ [-1; 1] $. Это означает, что существует такой угол $ \alpha $, косинус которого равен этому значению. Следовательно, данное равенство возможно.

Ответ: равенство возможно.

171. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + 2$;

2) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = -\sin \frac{x}{2}$;

4) $y = 3\sin x$;

5) $y = 3\sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$.

1) $y = \sin x + 2$

Для построения графика функции $y = \sin x + 2$ используется график базовой функции $y = \sin x$. Построение выполняется в несколько шагов:
1. Строится график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует параллельному переносу графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат $Oy$ на $c$ единиц. В нашем случае $f(x) = \sin x$ и $c = 2$.
3. Так как $c = 2 > 0$, мы сдвигаем весь график функции $y = \sin x$ на 2 единицы вверх.
В результате ось симметрии синусоиды перемещается с $y=0$ на $y=2$. Область значений функции становится $[ -1+2, 1+2 ]$, то есть $[1, 3]$. Период функции остается равным $2\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

2) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ строится на основе графика $y = \sin x$.
1. Строим график базовой функции $y = \sin x$.
2. Преобразование вида $y = f(x+c)$ соответствует параллельному переносу графика $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс $Ox$. В данном случае $f(x) = \sin x$ и $c = \frac{\pi}{4}$.
3. Так как $c = \frac{\pi}{4} > 0$, сдвиг происходит влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц.
Каждая точка графика $y = \sin x$ сдвигается влево по горизонтали. Например, точка $(0,0)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, а максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переместится в точку $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{\pi}{4}, 1)$. Период и область значений функции не изменяются.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево вдоль оси $Ox$.

3) $y = -\sin\frac{x}{2}$

Построение этого графика включает три последовательных преобразования графика $y = \sin x$.
1. Исходный график: $y = \sin x$.
2. Растяжение по оси $Ox$: Аргумент синуса $\frac{x}{2}$ означает, что происходит растяжение графика вдоль оси абсцисс в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$. Получаем график функции $y = \sin\frac{x}{2}$.
3. Симметричное отражение: Знак "минус" перед функцией означает отражение графика относительно оси абсцисс $Ox$. То есть, все положительные значения $y$ становятся отрицательными, а отрицательные — положительными. Получаем искомый график $y = -\sin\frac{x}{2}$.
Область значений функции остается $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = -\sin\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси $Ox$ с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

4) $y = 3\sin x$

График функции $y = 3\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем преобразования.
1. Строим график базовой функции $y = \sin x$.
2. Преобразование вида $y = A \cdot f(x)$ соответствует растяжению (при $|A|>1$) или сжатию (при $0 < |A| < 1$) графика вдоль оси ординат $Oy$. В нашем случае $A=3$.
3. Так как $A = 3 > 1$, мы растягиваем график $y = \sin x$ в 3 раза вдоль оси $Oy$.
Это означает, что ордината (значение $y$) каждой точки графика умножается на 3. Амплитуда колебаний увеличивается до 3. Область значений функции становится $[-3, 3]$. Период функции не изменяется и равен $2\pi$.

Ответ: График функции $y = 3\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$.

5) $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком $y = \sin x$.
1. Сдвиг по оси $Ox$: Строим график $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$, сдвигая график $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{3}$ влево.
2. Растяжение по оси $Oy$: Полученный график растягиваем в 3 раза вдоль оси $Oy$. Это дает нам график функции $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Амплитуда становится равной 3, а область значений — $[-3, 3]$.
3. Сдвиг по оси $Oy$: Наконец, сдвигаем последний график на 2 единицы вверх, чтобы получить искомый график $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$.
В результате:
- Период функции равен $2\pi$.
- Амплитуда равна 3.
- График сдвинут влево на $\frac{\pi}{3}$ и вверх на 2.
- Область значений функции: $[-3+2, 3+2]$, то есть $[-1, 5]$.
- Ключевые точки одного периода: начальная точка синусоиды $(0,0)$ переходит в $(-\frac{\pi}{3}, 2)$; максимум $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{6}, 5)$; минимум $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{7\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево, затем растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$ и, наконец, сдвига на 2 единицы вверх.

172. Постройте график функции:

1) $y = \cos x - 1,5$;

2) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

3) $y = \cos 2x$;

4) $y = -\frac{1}{3}\cos x$;

5) $y = -\frac{1}{3}\cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1,5$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=\cos x$.

Для построения графика функции $y = \cos x - 1,5$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Данное преобразование является вертикальным сдвигом графика $y = \cos x$ на 1,5 единицы вниз вдоль оси Oy.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$ (стандартную косинусоиду).

2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на 1,5 единицы вниз. Например, ключевые точки преобразуются так:
- Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1 - 1,5) = (0, -0,5)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0 - 1,5) = (\frac{\pi}{2}, -1,5)$.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, -1 - 1,5) = (\pi, -2,5)$.

Свойства измененного графика:
- Период остается неизменным: $T = 2\pi$.
- Область значений сдвигается: исходная $[-1, 1]$ становится $[-1 - 1,5, 1 - 1,5]$, то есть $[-2,5, -0,5]$.

Ответ: График функции $y = \cos x - 1,5$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на 1,5 единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Это преобразование является горизонтальным сдвигом (фазовым сдвигом) графика $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо вдоль оси Ox.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.

2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо. Например, ключевые точки преобразуются так:
- Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0 + \frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{\pi}{6}, 1)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{2\pi}{3}, 0)$.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi + \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{7\pi}{6}, -1)$.

Свойства измененного графика:
- Период остается неизменным: $T = 2\pi$.
- Область значений остается неизменной: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо по оси Ox.

Для построения графика функции $y = \cos 2x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Это преобразование является горизонтальным сжатием графика $y = \cos x$ к оси Oy в 2 раза.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.

2. Сжимаем график к оси Oy в 2 раза. Это означает, что абсцисса ($x$) каждой точки графика делится на 2, а ордината ($y$) остается неизменной. Например, ключевые точки преобразуются так:
- Максимум $(0, 1)$ остается на месте $(0, 1)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
- Максимум $(2\pi, 1)$ переходит в точку $(\pi, 1)$.

Свойства измененного графика:
- Период изменяется: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
- Область значений остается неизменной: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x$ получается путем сжатия графика функции $y = \cos x$ к оси Oy в 2 раза. Период функции равен $\pi$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{3}\cos x$ необходимо выполнить два последовательных преобразования графика базовой функции $y = \cos x$: вертикальное сжатие и отражение относительно оси Ox.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.

2. Выполняем вертикальное сжатие графика к оси Ox в 3 раза. Ордината ($y$) каждой точки умножается на $\frac{1}{3}$.

3. Выполняем отражение полученного графика относительно оси Ox. Ордината ($y$) каждой точки умножается на -1. В итоге, ордината каждой точки исходного графика $y = \cos x$ умножается на $-\frac{1}{3}$.
- Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -\frac{1}{3})$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ остается на месте.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, \frac{1}{3})$.

Свойства измененного графика:
- Период остается неизменным: $T = 2\pi$.
- Амплитуда изменяется: $A = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.
- Область значений изменяется: исходная $[-1, 1]$ становится $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}\cos x$ получается путем сжатия графика функции $y = \cos x$ к оси Ox в 3 раза и последующего симметричного отражения относительно оси Ox.

Для построения графика этой функции необходимо последовательно применить несколько преобразований к графику базовой функции $y = \cos x$.

Порядок построения:

1. Сдвиг вправо: Сначала строим график $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$, сдвигая график $y = \cos x$ вправо на $\frac{\pi}{6}$.

2. Сжатие и отражение: Затем строим график $y = -\frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Для этого предыдущий график сжимаем к оси Ox в 3 раза (умножаем ординаты на $\frac{1}{3}$) и отражаем относительно оси Ox (умножаем ординаты на -1).

3. Сдвиг вниз: Наконец, строим итоговый график, сдвигая последний график вниз на 1,5 единицы (вычитаем 1,5 из ординат).

Преобразование ключевых точек:
Возьмем точку $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$.
1. Сдвиг вправо: $(\frac{\pi}{6}, 1)$.
2. Сжатие и отражение: $(\frac{\pi}{6}, 1 \cdot (-\frac{1}{3})) = (\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{3})$.
3. Сдвиг вниз: $(\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{3} - 1,5) = (\frac{\pi}{6}, -\frac{11}{6})$. Это будет точка нового минимума.
Возьмем точку $(\pi, -1)$ на графике $y=\cos x$.
1. Сдвиг вправо: $(\pi + \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{7\pi}{6}, -1)$.
2. Сжатие и отражение: $(\frac{7\pi}{6}, -1 \cdot (-\frac{1}{3})) = (\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{3})$.
3. Сдвиг вниз: $(\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{3} - 1,5) = (\frac{7\pi}{6}, -\frac{7}{6})$. Это будет точка нового максимума.

Свойства итогового графика:
- Период: $T = 2\pi$.
- Амплитуда: $A = \frac{1}{3}$.
- Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
- Вертикальный сдвиг: 1,5 вниз.
- Область значений: $[ -1,5 - \frac{1}{3}, -1,5 + \frac{1}{3}] = [-\frac{11}{6}, -\frac{7}{6}]$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{6}) - 1,5$ получается из графика $y = \cos x$ путем следующих преобразований: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, сжатие к оси Ox в 3 раза, отражение относительно оси Ox и сдвиг вниз на 1,5 единицы.