Страница 87 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или $ \frac{\pi}{4} $):

1) $ \sin 104^{\circ} $;

2) $ \cos 250^{\circ} $;

3) $ \operatorname{tg} 285^{\circ} $;

4) $ \operatorname{ctg}(-108^{\circ}) $;

5) $ \sin 1,6\pi $;

6) $ \cos \left(-\frac{7\pi}{11}\right) $;

7) $ \operatorname{ctg} 2,4\pi $;

8) $ \sin \frac{32\pi}{7} $.

1) sin 104°
Угол $104^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$:
$\sin 104^\circ = \sin(90^\circ + 14^\circ) = \cos 14^\circ$.
Аргумент $14^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 14^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $\cos 14^\circ$

2) cos 250°
Угол $250^\circ$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin \alpha$:
$\cos 250^\circ = \cos(270^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ$.
Аргумент $20^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $-\sin 20^\circ$

3) tg 285°
Угол $285^\circ$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg} \alpha$:
$\text{tg} 285^\circ = \text{tg}(270^\circ + 15^\circ) = -\text{ctg} 15^\circ$.
Аргумент $15^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 15^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $-\text{ctg} 15^\circ$

4) ctg(–108°)
Котангенс — нечетная функция, поэтому $\text{ctg}(-108^\circ) = -\text{ctg}(108^\circ)$.
Угол $108^\circ$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\text{ctg}(90^\circ + \alpha) = -\text{tg} \alpha$:
$-\text{ctg}(108^\circ) = -\text{ctg}(90^\circ + 18^\circ) = -(-\text{tg} 18^\circ) = \text{tg} 18^\circ$.
Аргумент $18^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 18^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $\text{tg} 18^\circ$

5) sin 1,6π
Угол $1,6\pi$ находится в четвертой четверти ($1,5\pi < 1,6\pi < 2\pi$), где синус отрицателен. Используем формулу приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha$:
$\sin 1,6\pi = \sin(2\pi - 0,4\pi) = -\sin 0,4\pi = -\sin \frac{2\pi}{5}$.
Так как $\frac{2\pi}{5} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$-\sin \frac{2\pi}{5} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}) = -\cos(\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = -\cos \frac{\pi}{10}$.
Аргумент $\frac{\pi}{10}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\cos \frac{\pi}{10}$

6) cos(–7π/11)
Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-\frac{7\pi}{11}) = \cos \frac{7\pi}{11}$.
Угол $\frac{7\pi}{11}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{11} < \pi$), где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$:
$\cos \frac{7\pi}{11} = \cos(\pi - \frac{4\pi}{11}) = -\cos \frac{4\pi}{11}$.
Так как $\frac{4\pi}{11} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$-\cos \frac{4\pi}{11} = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{11}) = -\sin(\frac{11\pi - 8\pi}{22}) = -\sin \frac{3\pi}{22}$.
Аргумент $\frac{3\pi}{22}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{3\pi}{22} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\sin \frac{3\pi}{22}$

7) ctg 2,4π
Используем периодичность котангенса (период $\pi$):
$\text{ctg} 2,4\pi = \text{ctg}(2\pi + 0,4\pi) = \text{ctg} 0,4\pi = \text{ctg} \frac{2\pi}{5}$.
Так как $\frac{2\pi}{5} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\text{ctg} \alpha = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\text{ctg} \frac{2\pi}{5} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}) = \text{tg}(\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = \text{tg} \frac{\pi}{10}$.
Аргумент $\frac{\pi}{10}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\text{tg} \frac{\pi}{10}$

8) sin(32π/7)
Используем периодичность синуса (период $2\pi$):
$\sin \frac{32\pi}{7} = \sin(\frac{28\pi + 4\pi}{7}) = \sin(4\pi + \frac{4\pi}{7}) = \sin \frac{4\pi}{7}$.
Угол $\frac{4\pi}{7}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$), где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$:
$\sin \frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{7}) = \sin \frac{3\pi}{7}$.
Так как $\frac{3\pi}{7} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\sin \frac{3\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 6\pi}{14}) = \cos \frac{\pi}{14}$.
Аргумент $\frac{\pi}{14}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{14} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{14}$

199. Вычислите:

1) $ \cos 240^\circ; $

2) $ \cot (-300^\circ); $

3) $ \tan \left(-\frac{13\pi}{6}\right); $

4) $ \sin \frac{5\pi}{3}; $

5) $ \tan 1050^\circ; $

6) $ \cos \frac{43\pi}{4}. $

1) Для вычисления $ \cos(240^\circ) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 240^\circ $ находится в третьей координатной четверти. Представим $ 240^\circ $ как $ 180^\circ + 60^\circ $.
Согласно формуле приведения $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) $.
Так как значение $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, то:
$ \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Для вычисления $ \text{ctg}(-300^\circ) $ используем свойство нечетности котангенса, $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $, и его периодичность.
$ \text{ctg}(-300^\circ) = -\text{ctg}(300^\circ) $.
Угол $ 300^\circ $ находится в четвертой четверти. Применим формулу приведения, представив $ 300^\circ $ как $ 360^\circ - 60^\circ $.
$ -\text{ctg}(300^\circ) = -\text{ctg}(360^\circ - 60^\circ) = -(-\text{ctg}(60^\circ)) = \text{ctg}(60^\circ) $.
Значение $ \text{ctg}(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \text{ctg}(-300^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

3) Для вычисления $ \text{tg}\left(-\frac{13\pi}{6}\right) $ используем свойство нечетности тангенса, $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $, и его периодичность.
$ \text{tg}\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{13\pi}{6}\right) $.
Выделим полный оборот $ 2\pi $ из аргумента: $ \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} $.
Так как период тангенса $ \pi $ (и, следовательно, $ 2\pi $), то $ \text{tg}(2\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $.
$ -\text{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) $.
Значение $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \text{tg}\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

4) Для вычисления $ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ \frac{5\pi}{3} $ находится в четвертой четверти. Представим $ \frac{5\pi}{3} $ как $ 2\pi - \frac{\pi}{3} $.
Согласно формуле приведения $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Значение $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Следовательно, $ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

5) Для вычисления $ \text{tg}(1050^\circ) $ воспользуемся периодичностью тангенса (период $ 180^\circ $). Выделим целое число периодов в $ 1050^\circ $.
$ 1050^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 150^\circ = 900^\circ + 150^\circ $.
Следовательно, $ \text{tg}(1050^\circ) = \text{tg}(150^\circ) $.
Угол $ 150^\circ $ находится во второй четверти. Применим формулу приведения, представив $ 150^\circ $ как $ 180^\circ - 30^\circ $.
$ \text{tg}(150^\circ) = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}(30^\circ) $.
Значение $ \text{tg}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \text{tg}(1050^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

6) Для вычисления $ \cos\left(\frac{43\pi}{4}\right) $ воспользуемся периодичностью косинуса (период $ 2\pi $). Выделим целое число периодов.
$ \frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = \frac{40\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4} = 5 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{4} $.
Следовательно, $ \cos\left(\frac{43\pi}{4}\right) = \cos\left(5 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) $.
Угол $ \frac{3\pi}{4} $ находится во второй четверти. Применим формулу приведения, представив $ \frac{3\pi}{4} $ как $ \pi - \frac{\pi}{4} $.
$ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $.
Значение $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos\left(\frac{43\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

200. Найдите значение выражения:

1) $2\sin 210^\circ + \operatorname{tg} 240^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ + 6\cos 450^\circ;$

2) $\sin \left(-\frac{11\pi}{6}\right) \cos\frac{19\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4} \operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{3}\right);$

3) $\sin 113^\circ \cos 323^\circ + \cos 247^\circ \cos 307^\circ;$

4) $\frac{\cos 107^\circ \cos 185^\circ - \sin 253^\circ \sin 5^\circ}{\sin 143^\circ \cos 165^\circ + \cos 37^\circ \sin 15^\circ}.$

1) $2\sin210^\circ + \tg240^\circ + \ctg120^\circ + 6\cos450^\circ$

Для решения этого примера воспользуемся формулами приведения, чтобы свести углы к первой четверти.

1. Вычислим значение каждого слагаемого:

• $\sin210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin30^\circ = -\frac{1}{2}$
• $\tg240^\circ = \tg(180^\circ + 60^\circ) = \tg60^\circ = \sqrt{3}$
• $\ctg120^\circ = \ctg(180^\circ - 60^\circ) = -\ctg60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\cos450^\circ = \cos(360^\circ + 90^\circ) = \cos90^\circ = 0$

2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2\sin210^\circ + \tg240^\circ + \ctg120^\circ + 6\cos450^\circ = 2\cdot(-\frac{1}{2}) + \sqrt{3} + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 6\cdot0$

$= -1 + \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. Приведем слагаемые с корнями к общему знаменателю:

$\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

4. Получаем итоговый результат:

$-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

2) $\sin(-\frac{11\pi}{6})\cos\frac{19\pi}{6} - \tg\frac{5\pi}{4}\ctg(-\frac{5\pi}{3})$

Упростим каждую тригонометрическую функцию, используя свойства четности/нечетности и периодичности.

1. Вычислим значение каждого множителя:

• $\sin(-\frac{11\pi}{6}) = -\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-\sin\frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos(\frac{18\pi+\pi}{6}) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tg\frac{5\pi}{4} = \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg\frac{\pi}{4} = 1$
• $\ctg(-\frac{5\pi}{3}) = -\ctg(\frac{5\pi}{3}) = -\ctg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\ctg\frac{\pi}{3}) = \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. Подставим найденные значения в выражение:

$(\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{12} - \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{-3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{12} = -\frac{7\sqrt{3}}{12}$

Ответ: $-\frac{7\sqrt{3}}{12}$.

3) $\sin113^\circ\cos323^\circ + \cos247^\circ\cos307^\circ$

Для решения применим формулы приведения, чтобы преобразовать выражение к одной из формул сложения.

1. Преобразуем каждую функцию:

• $\sin113^\circ = \sin(180^\circ - 67^\circ) = \sin67^\circ$
• $\cos323^\circ = \cos(360^\circ - 37^\circ) = \cos37^\circ$
• $\cos247^\circ = \cos(180^\circ + 67^\circ) = -\cos67^\circ$
• $\cos307^\circ = \cos(270^\circ + 37^\circ) = \sin37^\circ$

2. Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$\sin67^\circ\cos37^\circ + (-\cos67^\circ)(\sin37^\circ) = \sin67^\circ\cos37^\circ - \cos67^\circ\sin37^\circ$

3. Полученное выражение является формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 67^\circ$ и $\beta = 37^\circ$:

$\sin(67^\circ - 37^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) $\frac{\cos107^\circ \cos185^\circ - \sin253^\circ \sin5^\circ}{\sin143^\circ \cos165^\circ + \cos37^\circ \sin15^\circ}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя формулы приведения.

1. Упростим числитель: $\cos107^\circ \cos185^\circ - \sin253^\circ \sin5^\circ$.

• $\cos107^\circ = \cos(90^\circ + 17^\circ) = -\sin17^\circ$
• $\cos185^\circ = \cos(180^\circ + 5^\circ) = -\cos5^\circ$
• $\sin253^\circ = \sin(270^\circ - 17^\circ) = -\cos17^\circ$

Подставляем в числитель:

$(-\sin17^\circ)(-\cos5^\circ) - (-\cos17^\circ)\sin5^\circ = \sin17^\circ\cos5^\circ + \cos17^\circ\sin5^\circ$

Это формула синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Числитель равен $\sin(17^\circ + 5^\circ) = \sin22^\circ$.

2. Упростим знаменатель: $\sin143^\circ \cos165^\circ + \cos37^\circ \sin15^\circ$.

• $\sin143^\circ = \sin(180^\circ - 37^\circ) = \sin37^\circ$
• $\cos165^\circ = \cos(180^\circ - 15^\circ) = -\cos15^\circ$

Подставляем в знаменатель:

$(\sin37^\circ)(-\cos15^\circ) + \cos37^\circ\sin15^\circ = \cos37^\circ\sin15^\circ - \sin37^\circ\cos15^\circ$

Это формула синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Знаменатель равен $\sin(15^\circ - 37^\circ) = \sin(-22^\circ) = -\sin22^\circ$.

3. Найдем значение всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\sin22^\circ}{-\sin22^\circ} = -1$

Ответ: -1.

201. Упростите выражение:

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha) - \sin(2\pi - \alpha); $

2) $ \sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \cos(\alpha - 4\pi)\cos(3\pi - \alpha); $

3) $ \frac{\sin(\pi + \alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\operatorname{tg}(\pi + \alpha)}. $

1) Упростим выражение $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha) - \sin(2\pi - \alpha) $.

Для этого применим формулы приведения к каждому слагаемому:

• $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $ (угол в I четверти, знак синуса +, функция меняется на кофункцию).
• $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол во II четверти, знак синуса +, функция не меняется).
• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол во II четверти, знак косинуса −, функция не меняется).
• $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, знак синуса −, функция не меняется).

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) - (-\cos(\alpha)) - (-\sin(\alpha)) = \cos(\alpha) - \sin(\alpha) + \cos(\alpha) + \sin(\alpha) = 2\cos(\alpha) $.

Ответ: $ 2\cos(\alpha) $

2) Упростим выражение $ \sin(\frac{5\pi}{2} - \alpha)\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) + \cos(\alpha - 4\pi)\cos(3\pi - \alpha) $.

Упростим каждый множитель, используя формулы приведения и свойства периодичности тригонометрических функций:

• $ \sin(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
• $ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию. Таким образом, $ -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-\cos(\alpha)) = \cos(\alpha) $.
• $ \cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha) $, так как период функции косинус равен $ 2\pi $.
• $ \cos(3\pi - \alpha) = \cos(2\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $, так как угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha) + \cos(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha)) = \cos^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = 0 $.

Ответ: $ 0 $

3) Упростим выражение $ \frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\text{tg}(\pi + \alpha)} $.

Сначала упростим числитель дроби:

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть, sin < 0).
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть, cos < 0, функция меняется).
• $ \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (тангенс - нечетная функция, функция меняется).

Произведение в числителе: $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) = \sin^2(\alpha) \cdot (-\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}) = -\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

Теперь упростим знаменатель дроби:

• $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (IV четверть, cos > 0, функция меняется).
• $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (III четверть, tg > 0).

Произведение в знаменателе: $ (-\sin(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = -\sin^2(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -\frac{\sin^3(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{-\frac{\sin^3(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\sin^3(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)}{\sin^3(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \text{ctg}^2(\alpha) $.

Ответ: $ \text{ctg}^2(\alpha) $

202. Упростите выражение:

1) $\tan 15^\circ + \tan 25^\circ + \tan 35^\circ + \dots + \tan 165^\circ$;

2) $\cot 12^\circ \cot 13^\circ \cot 14^\circ \dots \cot 78^\circ$.

1) $ \text{tg } 15^\circ + \text{tg } 25^\circ + \text{tg } 35^\circ + \dots + \text{tg } 165^\circ $

Данное выражение представляет собой сумму тангенсов, углы которых образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 15^\circ$ и разностью $d = 10^\circ$. Найдем количество членов $n$ в этой последовательности. Последний член $a_n = 165^\circ$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$165 = 15 + (n-1) \cdot 10$

$150 = (n-1) \cdot 10$

$15 = n-1$

$n = 16$

Всего в сумме 16 слагаемых. Это четное число, поэтому мы можем сгруппировать их попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее, всего получится 8 пар.

Сумма $S$ выглядит так:

$S = (\text{tg } 15^\circ + \text{tg } 165^\circ) + (\text{tg } 25^\circ + \text{tg } 155^\circ) + \dots + (\text{tg } 85^\circ + \text{tg } 95^\circ)$

Воспользуемся формулой приведения: $ \text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg } \alpha $.

Рассмотрим каждую пару:

$ \text{tg } 15^\circ + \text{tg } 165^\circ = \text{tg } 15^\circ + \text{tg}(180^\circ - 15^\circ) = \text{tg } 15^\circ - \text{tg } 15^\circ = 0 $

$ \text{tg } 25^\circ + \text{tg } 155^\circ = \text{tg } 25^\circ + \text{tg}(180^\circ - 25^\circ) = \text{tg } 25^\circ - \text{tg } 25^\circ = 0 $

Аналогично, сумма членов в каждой из 8 пар будет равна нулю.

Следовательно, вся сумма равна нулю.

Ответ: 0

2) $ \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{ctg } 14^\circ \cdot \dots \cdot \text{ctg } 78^\circ $

Данное выражение представляет собой произведение котангенсов. Углы образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 12^\circ$, разностью $d = 1^\circ$ и последним членом $a_n = 78^\circ$.

Найдем количество множителей в произведении:

$n = 78 - 12 + 1 = 67$

Всего в произведении 67 множителей. Сгруппируем их попарно: первый с последним, второй с предпоследним и так далее.

Воспользуемся формулой приведения $ \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg } \alpha $ и основным тригонометрическим тождеством $ \text{ctg } \alpha \cdot \text{tg } \alpha = 1 $.

Рассмотрим произведение первой и последней пары:

$ \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg } 78^\circ = \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 12^\circ) = \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{tg } 12^\circ = 1 $

Рассмотрим произведение второй и предпоследней пары:

$ \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{ctg } 77^\circ = \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 13^\circ) = \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{tg } 13^\circ = 1 $

Поскольку общее количество множителей (67) нечетное, один из них останется без пары. Это будет центральный член последовательности. Номер центрального члена: $(67+1)/2 = 34$-й.

Найдем угол этого члена: $ a_{34} = a_1 + (34-1)d = 12^\circ + 33 \cdot 1^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, центральный множитель, оставшийся без пары, — это $ \text{ctg } 45^\circ $.

Все произведение можно представить как произведение $(67-1)/2 = 33$ пар, каждая из которых равна 1, и центрального члена $ \text{ctg } 45^\circ $.

$P = ( \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg } 78^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg } 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 \cdot \text{ctg } 45^\circ$

Так как $ \text{ctg } 45^\circ = 1 $, то все произведение равно 1.

Ответ: 1