Страница 90 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Преобразуйте в произведение:

1) $1 + 2\cos\alpha$

2) $\sqrt{3} - 2\sin\alpha$

1)

Чтобы преобразовать выражение $1 + 2\cos\alpha$ в произведение, вынесем за скобки множитель 2:

$1 + 2\cos\alpha = 2\left(\frac{1}{2} + \cos\alpha\right)$

Теперь представим число $\frac{1}{2}$ в виде косинуса. Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha\right)$

Далее используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$. Применяем формулу:

$2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

2)

Чтобы преобразовать выражение $\sqrt{3} - 2\sin\alpha$ в произведение, вынесем за скобки множитель 2:

$\sqrt{3} - 2\sin\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin\alpha\right)$

Теперь представим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в виде синуса, чтобы можно было применить формулу разности синусов. Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\alpha\right)$

Далее используем формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$. Применяем формулу:

$2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

218. Докажите тождество:

1) $ \cos 5\alpha + \cos 8\alpha + \cos 9\alpha + \cos 12\alpha = 4 \cos \frac{3\alpha}{2} \cos 2\alpha \cos \frac{17\alpha}{2}; $

2) $ \frac{\sin 4\alpha - \sin 2\alpha}{\cos 4\alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha; $

3) $ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha - \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha; $

4) $ \cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta. $

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(\cos{12\alpha} + \cos{5\alpha}) + (\cos{9\alpha} + \cos{8\alpha})$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$ к каждой группе.

$\cos{12\alpha} + \cos{5\alpha} = 2\cos{\frac{12\alpha+5\alpha}{2}}\cos{\frac{12\alpha-5\alpha}{2}} = 2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{7\alpha}{2}}$

$\cos{9\alpha} + \cos{8\alpha} = 2\cos{\frac{9\alpha+8\alpha}{2}}\cos{\frac{9\alpha-8\alpha}{2}} = 2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}$

Подставим полученные выражения в левую часть: $2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{7\alpha}{2}} + 2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}$.

Вынесем общий множитель $2\cos{\frac{17\alpha}{2}}$ за скобки: $2\cos{\frac{17\alpha}{2}} (\cos{\frac{7\alpha}{2}} + \cos{\frac{\alpha}{2}})$.

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$\cos{\frac{7\alpha}{2}} + \cos{\frac{\alpha}{2}} = 2\cos{\frac{\frac{7\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}}\cos{\frac{\frac{7\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2}} = 2\cos{\frac{8\alpha}{4}}\cos{\frac{6\alpha}{4}} = 2\cos{2\alpha}\cos{\frac{3\alpha}{2}}$.

Подставим это обратно в наше выражение: $2\cos{\frac{17\alpha}{2}} \cdot 2\cos{2\alpha}\cos{\frac{3\alpha}{2}} = 4\cos{\frac{3\alpha}{2}}\cos{2\alpha}\cos{\frac{17\alpha}{2}}$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы преобразования разности синусов и суммы косинусов в произведение.

Формула разности синусов: $\sin{x} - \sin{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$. В числителе: $\sin{4\alpha} - \sin{2\alpha} = 2\cos{\frac{4\alpha+2\alpha}{2}}\sin{\frac{4\alpha-2\alpha}{2}} = 2\cos{3\alpha}\sin{\alpha}$.

Формула суммы косинусов: $\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$. В знаменателе: $\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha} = 2\cos{\frac{4\alpha+2\alpha}{2}}\cos{\frac{4\alpha-2\alpha}{2}} = 2\cos{3\alpha}\cos{\alpha}$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть: $\frac{2\cos{3\alpha}\sin{\alpha}}{2\cos{3\alpha}\cos{\alpha}}$.

Сократим дробь на $2\cos{3\alpha}$ (при условии, что $\cos{3\alpha} \neq 0$): $\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$.

По определению тангенса, $\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \text{tg}\,\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе.

Числитель: $(\sin{\alpha} + \sin{3\alpha}) - \cos{\alpha}$. Применим формулу суммы синусов $\sin{x} + \sin{y} = 2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$:

$\sin{\alpha} + \sin{3\alpha} = 2\sin{\frac{\alpha+3\alpha}{2}}\cos{\frac{3\alpha-\alpha}{2}} = 2\sin{2\alpha}\cos{\alpha}$.

Тогда числитель равен $2\sin{2\alpha}\cos{\alpha} - \cos{\alpha}$. Вынесем $\cos{\alpha}$ за скобки: $\cos{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)$.

Знаменатель: $(\cos{\alpha} - \cos{3\alpha}) - \sin{\alpha}$. Применим формулу разности косинусов $\cos{x} - \cos{y} = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$:

$\cos{\alpha} - \cos{3\alpha} = -2\sin{\frac{\alpha+3\alpha}{2}}\sin{\frac{\alpha-3\alpha}{2}} = -2\sin{2\alpha}\sin{(-\alpha)} = 2\sin{2\alpha}\sin{\alpha}$.

Тогда знаменатель равен $2\sin{2\alpha}\sin{\alpha} - \sin{\alpha}$. Вынесем $\sin{\alpha}$ за скобки: $\sin{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{\cos{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)}{\sin{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(2\sin{2\alpha} - 1)$ (при условии, что он не равен нулю): $\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$.

По определению котангенса, $\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \text{ctg}\,\alpha$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Для доказательства используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Левая часть тождества: $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Преобразуем каждую скобку, используя формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение.

Для первой скобки (разность косинусов): $\cos{x} - \cos{y} = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$.

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2\sin{\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}}\sin{\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2}} = -2\sin{\frac{2\alpha}{2}}\sin{\frac{-2\beta}{2}} = -2\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} = 2\sin{\alpha}\sin{\beta}$.

Для второй скобки (сумма косинусов): $\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$.

$\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos{\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}}\cos{\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2}} = 2\cos{\frac{2\alpha}{2}}\cos{\frac{-2\beta}{2}} = 2\cos{\alpha}\cos{(-\beta)} = 2\cos{\alpha}\cos{\beta}$.

Перемножим полученные выражения: $(2\sin{\alpha}\sin{\beta})(2\cos{\alpha}\cos{\beta}) = 4\sin{\alpha}\cos{\alpha}\sin{\beta}\cos{\beta}$.

Сгруппируем множители: $(2\sin{\alpha}\cos{\alpha})(2\sin{\beta}\cos{\beta})$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$:

$(2\sin{\alpha}\cos{\alpha}) = \sin{2\alpha}$

$(2\sin{\beta}\cos{\beta}) = \sin{2\beta}$

В результате левая часть равна $\sin{2\alpha}\sin{2\beta}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

219. Упростите выражение:

1) $\frac{(\sin \alpha + \sin 5\alpha)(\cos 5\alpha - \cos \alpha)}{1 - \cos 6\alpha}$;

2) $\left(\frac{\sin 2\alpha}{\sin 3\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\cos 3\alpha}\right) \cdot \frac{\sin 4\alpha + \sin 8\alpha}{\sin \alpha}$;

3) $(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2$.

1) Для упрощения выражения $ \frac{(\sin\alpha + \sin5\alpha)(\cos5\alpha - \cos\alpha)}{1 - \cos6\alpha} $ воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение, а также формулой понижения степени.
Формула суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
Формула разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.
Формула для знаменателя (следствие из формулы косинуса двойного угла): $ 1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2\theta $.

Преобразуем множители в числителе:
$ \sin\alpha + \sin5\alpha = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) $.
$ \cos5\alpha - \cos\alpha = -2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2} = -2\sin(3\alpha)\sin(2\alpha) $.
Произведение этих выражений дает числитель:
$ (2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha))(-2\sin(3\alpha)\sin(2\alpha)) = -4\sin^2(3\alpha)\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $.
Тогда числитель равен: $ -4\sin^2(3\alpha) \cdot \frac{1}{2}\sin(4\alpha) = -2\sin^2(3\alpha)\sin(4\alpha) $.

Преобразуем знаменатель, полагая $ 6\alpha = 2 \cdot (3\alpha) $:
$ 1 - \cos6\alpha = 2\sin^2(3\alpha) $.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$ \frac{-2\sin^2(3\alpha)\sin(4\alpha)}{2\sin^2(3\alpha)} = -\sin(4\alpha) $.

Ответ: $ -\sin(4\alpha) $

2) Рассмотрим выражение $ \left(\frac{\sin2\alpha}{\sin3\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\cos3\alpha}\right) \cdot \frac{\sin4\alpha + \sin8\alpha}{\sin\alpha} $.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\sin2\alpha}{\sin3\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\cos3\alpha} = \frac{\sin2\alpha\cos3\alpha - \cos2\alpha\sin3\alpha}{\sin3\alpha\cos3\alpha} $.
Числитель полученной дроби соответствует формуле синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:
$ \sin2\alpha\cos3\alpha - \cos2\alpha\sin3\alpha = \sin(2\alpha - 3\alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
Знаменатель можно преобразовать по формуле синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:
$ \sin3\alpha\cos3\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha) $.
Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{-\sin\alpha}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = \frac{-2\sin\alpha}{\sin(6\alpha)} $.

Теперь упростим вторую дробь, используя формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:
$ \sin4\alpha + \sin8\alpha = 2\sin\frac{4\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-8\alpha}{2} = 2\sin(6\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha) $.
Вторая дробь равна: $ \frac{2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha} $.

Перемножим полученные упрощенные выражения:
$ \left(\frac{-2\sin\alpha}{\sin(6\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha}\right) = \frac{-2\sin\alpha \cdot 2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(6\alpha) \cdot \sin\alpha} $.
Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ \sin\alpha $ и $ \sin(6\alpha) $), получаем:
$ -2 \cdot 2 \cos(2\alpha) = -4\cos(2\alpha) $.

Ответ: $ -4\cos(2\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 $ можно раскрыть скобки или использовать формулы преобразования разности в произведение.
Способ 1: Раскрытие скобок.
$ (\cos\alpha - \cos\beta)^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta $.
$ (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta $.
Складываем эти два выражения:
$ (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $ и формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y $, получаем:
$ 1 + 1 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2(1 - \cos(\alpha-\beta)) $.
Используя формулу $ 1 - \cos(2x) = 2\sin^2x $, заменим $ 2x = \alpha-\beta $, тогда $ x = \frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2 \left( 2\sin^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \right) = 4\sin^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Способ 2: Преобразование в произведение.
$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Возводим в квадрат и складываем:
$ \left(-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 + \left(2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 = $
$ = 4\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2}\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} + 4\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Выносим общий множитель $ 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $ за скобки:
$ 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} \left(\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} + \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $.
Так как выражение в скобках равно 1, получаем: $ 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Ответ: $ 4\sin^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $

220. Докажите тождество

$4\cos^2 \alpha - 3 = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, чтобы привести её к виду левой части.

Правая часть тождества: $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

Применим эти формулы для нашего выражения, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

$\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

Нам известны значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$:

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражения:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

$\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Теперь перемножим эти два выражения. Их произведение имеет вид $(a+b)(a-b)$, что по формуле разности квадратов равно $a^2 - b^2$:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$

Подставим полученный результат в правую часть исходного тождества:

$4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 4\left(\frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha\right) = \cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Заменим $\sin^2\alpha$ в нашем выражении:

$\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - 3(1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 3 + 3\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha - 3$

Таким образом, мы показали, что правая часть тождества $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$ равна левой части $4\cos^2\alpha - 3$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

221. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \cos 3\alpha \cos 2\alpha $;

2) $ \sin 5\alpha \sin 3\alpha $;

3) $ \sin 15^\circ \cos 40^\circ $;

4) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $;

5) $ \sin(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) $;

6) $ \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $.

Для решения данной задачи используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или разность):

• $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $
• $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $
• $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $

1) $ \cos 3\alpha \cos 2\alpha $

Используем формулу для произведения косинусов: $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $.
Подставим $ x = 3\alpha $ и $ y = 2\alpha $:

$ \cos 3\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 2\alpha) + \cos(3\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 5\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 5\alpha) $.

2) $ \sin 5\alpha \sin 3\alpha $

Используем формулу для произведения синусов: $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.
Подставим $ x = 5\alpha $ и $ y = 3\alpha $:

$ \sin 5\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha - 3\alpha) - \cos(5\alpha + 3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.

3) $ \sin 15^\circ \cos 40^\circ $

Используем формулу для произведения синуса на косинус: $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = 15^\circ $ и $ y = 40^\circ $:

$ \sin 15^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ + 40^\circ) + \sin(15^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 55^\circ + \sin(-25^\circ)) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-z) = -\sin z $), получаем:

$ \frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ) $.

4) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $

Используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = \frac{\pi}{12} $ и $ y = \frac{7\pi}{12} $:

$ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{7\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{8\pi}{12}\right) + \sin\left(-\frac{6\pi}{12}\right)\right) $.

Упростим дроби в аргументах: $ \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} $.

$ \frac{1}{2}\left(\sin \frac{2\pi}{3} + \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin \frac{2\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{2}\right) $.

Вычислим значения синусов: $ \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{2} = 1 $.

$ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\left(\sin \frac{2\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{2}\right) $ (или $ \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} $).

5) $ \sin(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) $

Используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = \alpha - \beta $ и $ y = \alpha + \beta $:

$ \sin(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\sin((\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)) + \sin((\alpha - \beta) - (\alpha + \beta))) $.

Упростим выражения в скобках: $ (\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 2\alpha $ и $ (\alpha - \beta) - (\alpha + \beta) = -2\beta $.

$ \frac{1}{2}(\sin(2\alpha) + \sin(-2\beta)) = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha - \sin 2\beta) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 2\alpha - \sin 2\beta) $.

6) $ \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $

Используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} + \alpha $:

$ \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\alpha - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right)\right) $.

Упростим выражения в скобках: $ \alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha = 2\alpha + \frac{\pi}{3} $ и $ \alpha - \frac{\pi}{3} - \alpha = -\frac{\pi}{3} $.

$ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\frac{\pi}{3}\right) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\frac{\pi}{3}\right) $.

222. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha - 2\sin \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = 0,5;$

2) $\sin 4\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha \cos 5\alpha = \sin 6\alpha \cos \alpha;$

3) $\sin^2 \alpha + \sin \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)\sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{4};$

4) $\cos^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = 1.$

1) Докажем тождество $sin\alpha - 2sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12})cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = 0,5$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму: $2sin(A)cos(B) = sin(A+B) + sin(A-B)$.

В нашем случае $A = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}$ и $B = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}$.

Найдем сумму и разность аргументов:

$A+B = (\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}) + (\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = \alpha$.

$A-B = (\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}) - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в формулу:

$2sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12})cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = sin(\alpha) + sin(-\frac{\pi}{6})$.

Используя свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$ и значение $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$sin(\alpha) + sin(-\frac{\pi}{6}) = sin(\alpha) - sin(\frac{\pi}{6}) = sin(\alpha) - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$sin\alpha - (sin(\alpha) - \frac{1}{2}) = sin\alpha - sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $sin4\alpha cos\alpha + sin2\alpha cos5\alpha = sin6\alpha cos\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу преобразования произведения в сумму $sin(A)cos(B) = \frac{1}{2}(sin(A+B) + sin(A-B))$.

Для первого слагаемого $sin4\alpha cos\alpha$:

$sin4\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}(sin(4\alpha+\alpha) + sin(4\alpha-\alpha)) = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin3\alpha)$.

Для второго слагаемого $sin2\alpha cos5\alpha$:

$sin2\alpha cos5\alpha = \frac{1}{2}(sin(2\alpha+5\alpha) + sin(2\alpha-5\alpha)) = \frac{1}{2}(sin7\alpha + sin(-3\alpha)) = \frac{1}{2}(sin7\alpha - sin3\alpha)$.

Теперь сложим полученные выражения:

$sin4\alpha cos\alpha + sin2\alpha cos5\alpha = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin3\alpha) + \frac{1}{2}(sin7\alpha - sin3\alpha) = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin3\alpha + sin7\alpha - sin3\alpha) = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin7\alpha)$.

Далее преобразуем полученную сумму синусов в произведение по формуле $sin(X)+sin(Y) = 2sin(\frac{X+Y}{2})cos(\frac{X-Y}{2})$.

$\frac{1}{2}(sin7\alpha + sin5\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 2sin(\frac{7\alpha+5\alpha}{2})cos(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}) = sin(\frac{12\alpha}{2})cos(\frac{2\alpha}{2}) = sin6\alpha cos\alpha$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $sin^2\alpha + sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{4}$.

Преобразуем левую часть равенства. Рассмотрим произведение $sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$.

Воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы:

$sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) = sin\frac{\pi}{6}cos\alpha - cos\frac{\pi}{6}sin\alpha = \frac{1}{2}cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha$.

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin\frac{\pi}{6}cos\alpha + cos\frac{\pi}{6}sin\alpha = \frac{1}{2}cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha$.

Перемножим эти выражения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = (\frac{1}{2}cos\alpha)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha)^2 = \frac{1}{4}cos^2\alpha - \frac{3}{4}sin^2\alpha$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$sin^2\alpha + \frac{1}{4}cos^2\alpha - \frac{3}{4}sin^2\alpha = (1 - \frac{3}{4})sin^2\alpha + \frac{1}{4}cos^2\alpha = \frac{1}{4}sin^2\alpha + \frac{1}{4}cos^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$\frac{1}{4}(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{4}(1) = \frac{1}{4}$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $cos^2\alpha + sin^2\beta + sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся известной формулой произведения синусов: $sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = sin^2\alpha - sin^2\beta$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$cos^2\alpha + sin^2\beta + (sin^2\alpha - sin^2\beta) = cos^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\alpha - sin^2\beta$.

Упростим выражение, сократив $sin^2\beta$ и $-sin^2\beta$:

$cos^2\alpha + sin^2\alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.