Страница 96 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Решите уравнение:

1) $ \cos 2x + \cos 6x = 0; $

2) $ \sin 3x + \sin 9x = 0; $

3) $ \cos 5x - \cos 2x = 0; $

4) $ \sin 2x - \sin 7x = 0; $

5) $ \cos x + \cos 5x = 2 \cos 3x; $

6) $ \operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg}^2 x - 9 \operatorname{tg} x - 9 = 0; $

7) $ 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x - \sqrt{3} = 0; $

8) $ (1 - \sin x) \operatorname{ctg} x + \sin x - 1 = 0. $

1) Исходное уравнение: $cos(2x) + cos(6x) = 0$. Для решения используем формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. Применим эту формулу к левой части уравнения: $2cos\frac{2x+6x}{2}cos\frac{6x-2x}{2} = 0$ $2cos(4x)cos(2x) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая: 1. $cos(4x) = 0$. Решением этого уравнения является $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $cos(2x) = 0$. Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Оба набора решений являются ответом.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(3x) + sin(9x) = 0$. Используем формулу суммы синусов: $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2sin\frac{3x+9x}{2}cos\frac{9x-3x}{2} = 0$ $2sin(6x)cos(3x) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1. $sin(6x) = 0$. Тогда $6x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $cos(3x) = 0$. Тогда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Заметим, что вторая серия решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi(1+2n)}{6}$ является подмножеством первой серии $x = \frac{\pi k}{6}$ (при нечетных значениях $k$). Следовательно, достаточно указать только первую серию решений.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cos(5x) - cos(2x) = 0$. Перепишем уравнение в виде $cos(5x) = cos(2x)$. Равенство косинусов выполняется, если их аргументы равны или противоположны с точностью до периода $2\pi$. 1. $5x = 2x + 2\pi k \implies 3x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $5x = -2x + 2\pi n \implies 7x = 2\pi n \implies x = \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $sin(2x) - sin(7x) = 0$. Перепишем уравнение в виде $sin(2x) = sin(7x)$. Равенство синусов выполняется в двух случаях: 1. Аргументы равны с точностью до периода $2\pi$: $2x = 7x + 2\pi k \implies -5x = 2\pi k \implies x = -\frac{2\pi k}{5}$. Так как $k$ любое целое число, это эквивалентно $x = \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. Сумма аргументов равна $\pi$ с точностью до периода $2\pi$: $2x + 7x = \pi + 2\pi n \implies 9x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $cos(x) + cos(5x) = 2cos(3x)$. Применим формулу суммы косинусов к левой части: $2cos\frac{x+5x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2cos(3x)$ $2cos(3x)cos(2x) = 2cos(3x)$ Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель: $2cos(3x)cos(2x) - 2cos(3x) = 0$ $2cos(3x)(cos(2x) - 1) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1. $cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $cos(2x) - 1 = 0 \implies cos(2x) = 1 \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $tg^3x + tg^2x - 9tgx - 9 = 0$. Введем замену $t = tgx$. Уравнение примет вид: $t^3 + t^2 - 9t - 9 = 0$ Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $t^2(t+1) - 9(t+1) = 0$ $(t^2 - 9)(t+1) = 0$ $(t-3)(t+3)(t+1) = 0$ Отсюда получаем три возможных значения для $t$: $t_1 = 3$, $t_2 = -3$, $t_3 = -1$. Вернемся к переменной $x$: 1. $tgx = 3 \implies x = arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $tgx = -3 \implies x = arctan(-3) + \pi n = -arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. 3. $tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

7) Исходное уравнение: $2sinxcosx - \sqrt{3}cosx + 2sinx - \sqrt{3} = 0$. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $cosx(2sinx - \sqrt{3}) + 1(2sinx - \sqrt{3}) = 0$ $(cosx + 1)(2sinx - \sqrt{3}) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1. $cosx + 1 = 0 \implies cosx = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $2sinx - \sqrt{3} = 0 \implies sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями этого уравнения являются две серии: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Это можно записать одной формулой: $x = (-1)^j \frac{\pi}{3} + \pi j, j \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8) Исходное уравнение: $(1 - sinx)ctgx + sinx - 1 = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ): $ctgx$ определен, если $sinx \neq 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Преобразуем уравнение: $(1 - sinx)ctgx - (1 - sinx) = 0$ Вынесем общий множитель $(1 - sinx)$ за скобки: $(1 - sinx)(ctgx - 1) = 0$ Получаем два случая: 1. $1 - sinx = 0 \implies sinx = 1$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1 \neq 0$. 2. $ctgx - 1 = 0 \implies ctgx = 1$. Решением является $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Это решение также удовлетворяет ОДЗ, так как $sin(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

258. Решите уравнение:

1) $ \cos 4x - \sin 3x = 0; $

2) $ \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = -1; $

3) $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x; $

4) $ \sin x + \sin 7x = \sin 5x + \sin 3x. $

1) $ \cos 4x - \sin 3x = 0 $
Перепишем уравнение в виде $ \cos 4x = \sin 3x $.
Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \cos 4x = \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) $
Это равенство выполняется в двух случаях:
1. Аргументы косинусов равны с точностью до периода $ 2\pi n $:
$ 4x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ 7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7} $
2. Аргументы косинусов противоположны с точностью до периода $ 2\pi k $:
$ 4x = -(\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $
$ 4x = -\frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7}, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{\pi}{4} - x) = -1 $
Это уравнение вида $ a\sin y + b\cos y = c $. Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла.
$ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{2} $:
$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\pi}{4} - x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\pi}{4} - x) \right) = -1 $
Заменим $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \cos\frac{\pi}{4} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} $:
$ \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4} - x) - \sin\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{4} - x) \right) = -1 $
Применим формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sqrt{2} \sin\left((\frac{\pi}{4} - x) - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $
$ \sqrt{2} \sin(-x) = -1 $
$ -\sqrt{2} \sin x = -1 $
$ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Решения этого уравнения:
$ x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $
Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x $
Применим к левой части формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\sin\frac{2x+8x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = \sqrt{2} \cos 3x $
$ 2\sin 5x \cos 3x = \sqrt{2} \cos 3x $
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos 3x $ за скобки:
$ 2\sin 5x \cos 3x - \sqrt{2} \cos 3x = 0 $
$ \cos 3x (2\sin 5x - \sqrt{2}) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $ \cos 3x = 0 $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $
2. $ 2\sin 5x - \sqrt{2} = 0 $
$ \sin 5x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ 5x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $
$ x = (-1)^k \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, x = (-1)^k \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin x + \sin 7x = \sin 5x + \sin 3x $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к обеим частям уравнения.
Левая часть:
$ \sin 7x + \sin x = 2\sin\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 2\sin 4x \cos 3x $
Правая часть:
$ \sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin 4x \cos x $
Получаем уравнение:
$ 2\sin 4x \cos 3x = 2\sin 4x \cos x $
$ 2\sin 4x \cos 3x - 2\sin 4x \cos x = 0 $
Вынесем общий множитель $ 2\sin 4x $ за скобки:
$ 2\sin 4x (\cos 3x - \cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \sin 4x = 0 $
$ 4x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi n}{4} $
2. $ \cos 3x - \cos x = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0 $
$ -2\sin 2x \sin x = 0 $
Отсюда $ \sin 2x = 0 $ или $ \sin x = 0 $.
Если $ \sin x = 0 $, то $ x = \pi k $. Эти решения входят в серию $ x = \frac{\pi n}{4} $ (при $ n=4k $).
Если $ \sin 2x = 0 $, то $ 2x = \pi m $, откуда $ x = \frac{\pi m}{2} $. Эти решения также входят в серию $ x = \frac{\pi n}{4} $ (при $ n=2m $).
Таким образом, все найденные решения описываются одной формулой.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

259. Решите уравнение:

1) $ \sin 5x + 2\sin^2 4x = 1; $

2) $ 1 - \cos 4x = \sqrt{2} \sin 2x; $

3) $ \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1; $

4) $ \cos^2 x + \cos^2 5x = \cos^2 2x + \cos^2 4x. $

1) Исходное уравнение: $ \sin(5x) + 2\sin^2(4x) = 1 $.

Воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $, откуда $ 2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha) $.
Применим эту формулу для $ \alpha = 4x $. Получим $ 2\sin^2(4x) = 1 - \cos(8x) $.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \sin(5x) + 1 - \cos(8x) = 1 $
$ \sin(5x) - \cos(8x) = 0 $
$ \sin(5x) = \cos(8x) $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой приведения: $ \cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \sin(5x) = \sin(\frac{\pi}{2} - 8x) $.

Уравнение вида $ \sin(a) = \sin(b) $ имеет две серии решений: $ a = b + 2\pi n $ и $ a = \pi - b + 2\pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.
1. Первая серия решений:
$ 5x = \frac{\pi}{2} - 8x + 2\pi n $
$ 13x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{26} + \frac{2\pi n}{13}, n \in \mathbb{Z} $.

2. Вторая серия решений:
$ 5x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 8x) + 2\pi k $
$ 5x = \pi - \frac{\pi}{2} + 8x + 2\pi k $
$ 5x = \frac{\pi}{2} + 8x + 2\pi k $
$ -3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{26} + \frac{2\pi n}{13}, x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ 1 - \cos(4x) = \sqrt{2}\sin(2x) $.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha) $.
Для $ \alpha = 2x $ получаем $ 1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x) $.
Подставим в уравнение:
$ 2\sin^2(2x) = \sqrt{2}\sin(2x) $
$ 2\sin^2(2x) - \sqrt{2}\sin(2x) = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin(2x) $ за скобки:
$ \sin(2x)(2\sin(2x) - \sqrt{2}) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:
1. $ \sin(2x) = 0 $
$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\sin(2x) - \sqrt{2} = 0 $
$ 2\sin(2x) = \sqrt{2} $
$ \sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ 2x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
$ 2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ \sin^2(2x) + \sin^2(3x) = 1 $.

Воспользуемся формулами понижения степени: $ \sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.
Применим их к обоим слагаемым:
$ \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 - \cos(6x)}{2} = 1 $.

Умножим обе части уравнения на 2:
$ 1 - \cos(4x) + 1 - \cos(6x) = 2 $
$ 2 - (\cos(4x) + \cos(6x)) = 2 $
$ \cos(4x) + \cos(6x) = 0 $.

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) $.
$ 2\cos(\frac{4x+6x}{2})\cos(\frac{6x-4x}{2}) = 0 $
$ 2\cos(5x)\cos(x) = 0 $
$ \cos(5x)\cos(x) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $ \cos(5x) = 0 $
$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos(x) = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Если $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, то это соответствует значениям $ n = 2 + 5k $ в первой серии: $ \frac{\pi}{10} + \frac{\pi(2+5k)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \pi k = \frac{5\pi}{10} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k $. Таким образом, достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ \cos^2(x) + \cos^2(5x) = \cos^2(2x) + \cos^2(4x) $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $ для всех членов уравнения.
$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(10x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(8x)}{2} $.

Умножим обе части на 2:
$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(10x) = 1 + \cos(4x) + 1 + \cos(8x) $
$ \cos(2x) + \cos(10x) = \cos(4x) + \cos(8x) $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) $ к обеим частям уравнения.
Левая часть: $ \cos(10x) + \cos(2x) = 2\cos(\frac{12x}{2})\cos(\frac{8x}{2}) = 2\cos(6x)\cos(4x) $.
Правая часть: $ \cos(8x) + \cos(4x) = 2\cos(\frac{12x}{2})\cos(\frac{4x}{2}) = 2\cos(6x)\cos(2x) $.

Получаем уравнение:
$ 2\cos(6x)\cos(4x) = 2\cos(6x)\cos(2x) $
$ \cos(6x)\cos(4x) - \cos(6x)\cos(2x) = 0 $
$ \cos(6x)(\cos(4x) - \cos(2x)) = 0 $.

Это уравнение распадается на два случая:
1. $ \cos(6x) = 0 $
$ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos(4x) - \cos(2x) = 0 \implies \cos(4x) = \cos(2x) $.
Это равенство выполняется, если $ 4x = \pm 2x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
а) $ 4x = 2x + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
б) $ 4x = -2x + 2\pi m \implies 6x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $.
Решения $ x = \pi k $ являются подмножеством решений $ x = \frac{\pi m}{3} $ (при $ m = 3k $). Следовательно, из этого случая получаем одну серию решений: $ x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, x = \frac{\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

260. Решите уравнение:

1) $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos 3x;$

2) $\sqrt{2}(\cos 3x + \sin 3x) = \cos 6x;$

3) $\cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos 5x;$

4) $\sin 3x \cos 2x = \sin 5x;$

5) $\sin 5x \cos 2x = -\sin 3x \cos 6x;$

6) $\cos 3x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right).$

1) Решим уравнение $ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos 3x $.

Преобразуем левую часть, используя метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2} \cos 3x $

Разделим обе части на $ \sqrt{2} \neq 0 $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \cos 3x $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, уравнение можно записать в виде:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos 3x $

Используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \cos 3x $

Применим формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x) $

Равенство $ \sin A = \sin B $ равносильно совокупности двух уравнений:

$ A = B + 2\pi n $ или $ A = \pi - B + 2\pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Случай 1:

$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi n $

$ 4x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Случай 2:

$ x - \frac{\pi}{4} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k $

$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k $

$ -2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = -\frac{3\pi}{8} - \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \ x = -\frac{3\pi}{8} - \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{2}(\cos 3x + \sin 3x) = \cos 6x $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:

$ \cos 6x = \cos^2 3x - \sin^2 3x = (\cos 3x - \sin 3x)(\cos 3x + \sin 3x) $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sqrt{2}(\cos 3x + \sin 3x) = (\cos 3x - \sin 3x)(\cos 3x + \sin 3x) $

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos 3x + \sin 3x) $ за скобки:

$ (\cos 3x + \sin 3x)(\cos 3x - \sin 3x - \sqrt{2}) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \cos 3x + \sin 3x = 0 $

Разделим на $ \cos 3x $ (предполагая, что $ \cos 3x \neq 0 $):

$ 1 + \tan 3x = 0 \implies \tan 3x = -1 $

$ 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos 3x - \sin 3x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos 3x - \sin 3x = \sqrt{2} $

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла, разделив на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x = 1 $

$ \cos(\frac{\pi}{4})\cos 3x - \sin(\frac{\pi}{4})\sin 3x = 1 $

$ \cos(3x + \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ 3x + \frac{\pi}{4} = 2\pi k $

$ 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой (когда $ n $ в первой серии является четным числом, $ n=2k $). Следовательно, все решения описываются первой серией.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos 5x $.

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. Коэффициент $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.

$ 2(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x) = 2 \cos 5x $

Разделим обе части на 2:

$ \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos 5x $

Заметим, что $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Получаем:

$ \cos(\frac{\pi}{3})\cos x - \sin(\frac{\pi}{3})\sin x = \cos 5x $

По формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:

$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos 5x $

Равенство $ \cos A = \cos B $ равносильно совокупности $ A = \pm B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Случай 1:

$ x + \frac{\pi}{3} = 5x + 2\pi n $

$ -4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $ (что эквивалентно $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $)

Случай 2:

$ x + \frac{\pi}{3} = -5x + 2\pi m $

$ 6x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m $

$ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}; \ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi m}{3} $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

4) Решим уравнение $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x $.

Используем формулу синуса суммы для правой части: $ \sin 5x = \sin(3x+2x) = \sin 3x \cos 2x + \cos 3x \sin 2x $.

Подставим это в уравнение:

$ \sin 3x \cos 2x = \sin 3x \cos 2x + \cos 3x \sin 2x $

Вычтем $ \sin 3x \cos 2x $ из обеих частей:

$ 0 = \cos 3x \sin 2x $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

2. $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi k $

$ x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; \ x = \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим уравнение $ \sin 5x \cos 2x = -\sin 3x \cos 6x $.

Перенесем все в левую часть:

$ \sin 5x \cos 2x + \sin 3x \cos 6x = 0 $

Применим формулу преобразования произведения в сумму $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $:

$ \frac{1}{2}(\sin(5x+2x) + \sin(5x-2x)) + \frac{1}{2}(\sin(3x+6x) + \sin(3x-6x)) = 0 $

$ \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin 3x) + \frac{1}{2}(\sin 9x + \sin(-3x)) = 0 $

Умножим на 2 и используем свойство нечетности синуса $ \sin(-3x) = -\sin 3x $:

$ \sin 7x + \sin 3x + \sin 9x - \sin 3x = 0 $

$ \sin 7x + \sin 9x = 0 $

Применим формулу преобразования суммы в произведение $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) $:

$ 2\sin(\frac{7x+9x}{2})\cos(\frac{7x-9x}{2}) = 0 $

$ 2\sin(8x)\cos(-x) = 0 $

Так как косинус - четная функция, $ \cos(-x) = \cos x $:

$ 2\sin(8x)\cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \sin 8x = 0 $

$ 8x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Решения второго случая являются подмножеством решений первого (например, при $ k=0, x=\pi/2 $, что соответствует $ n=4 $ в первой серии; при $ k=1, x=3\pi/2 $, что соответствует $ n=12 $). Таким образом, достаточно указать только первую серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

6) Решим уравнение $ \cos 3x = 2\sin(\frac{3\pi}{2} - x) $.

Сначала упростим правую часть с помощью формулы приведения. Угол $ (\frac{3\pi}{2} - x) $ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Функция меняется на кофункцию (синус на косинус).

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x $

Уравнение принимает вид:

$ \cos 3x = 2(-\cos x) $

$ \cos 3x + 2\cos x = 0 $

Используем формулу косинуса тройного угла $ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $:

$ (4\cos^3 x - 3\cos x) + 2\cos x = 0 $

$ 4\cos^3 x - \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (4\cos^2 x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2. $ 4\cos^2 x - 1 = 0 $

$ \cos^2 x = \frac{1}{4} $

$ \cos x = \pm \frac{1}{2} $

a) $ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

b) $ \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $, где $ n, k, m \in \mathbb{Z} $.

261. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos 3x - \cos x}{\sin 3x - \sin x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x.$

1) $ \frac{\cos{3x} - \cos{x}}{\sin{3x} - \sin{x}} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \cos{3x} - \cos{x} = 0 \\ \sin{3x} - \sin{x} \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $ \cos{3x} - \cos{x} = 0 $.

Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ -2\sin{\frac{3x+x}{2}}\sin{\frac{3x-x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{2x}\sin{x} = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ \sin{2x} = 0 \quad $ или $ \quad \sin{x} = 0 $

а) $ \sin{2x} = 0 $

$ 2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что множество решений $ x = \pi k $ является подмножеством решений $ x = \frac{\pi n}{2} $ (при четных $ n=2k $). Таким образом, общее решение уравнения $ \cos{3x} - \cos{x} = 0 $ есть $ x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2. Теперь проверим условие $ \sin{3x} - \sin{x} \neq 0 $.

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} $:

$ 2\sin{\frac{3x-x}{2}}\cos{\frac{3x+x}{2}} \neq 0 $

$ 2\sin{x}\cos{2x} \neq 0 $

Это означает, что одновременно должны выполняться два условия:

$ \sin{x} \neq 0 \quad $ и $ \quad \cos{2x} \neq 0 $

Подставим найденные решения $ x = \frac{\pi n}{2} $ в эти условия:

а) Проверка $ \sin{x} \neq 0 $:

$ \sin(\frac{\pi n}{2}) \neq 0 $. Значение $ \sin(\frac{\pi n}{2}) $ равно нулю, когда $ n $ — четное число ($ n=2k $), так как $ \sin(\frac{\pi (2k)}{2}) = \sin(\pi k) = 0 $. Следовательно, четные значения $ n $ необходимо исключить.

б) Проверка $ \cos{2x} \neq 0 $:

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(\pi n) = (-1)^n $. Это значение никогда не равно нулю. Данное условие не накладывает дополнительных ограничений.

Итак, из множества решений $ x = \frac{\pi n}{2} $ мы должны оставить только те, для которых $ n $ является нечетным числом. Пусть $ n = 2k + 1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi(2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \frac{\sin{2x}}{1 - \cos{x}} = 2\sin{x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ 1 - \cos{x} \neq 0 $

$ \cos{x} \neq 1 $

$ x \neq 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} $:

$ \frac{2\sin{x}\cos{x}}{1 - \cos{x}} = 2\sin{x} $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ \frac{2\sin{x}\cos{x}}{1 - \cos{x}} - 2\sin{x} = 0 $

$ 2\sin{x} \left( \frac{\cos{x}}{1 - \cos{x}} - 1 \right) = 0 $

$ 2\sin{x} \left( \frac{\cos{x} - (1 - \cos{x})}{1 - \cos{x}} \right) = 0 $

$ 2\sin{x} \frac{2\cos{x} - 1}{1 - \cos{x}} = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ \sin{x} = 0 \quad $ или $ \quad 2\cos{x} - 1 = 0 $

а) Решим уравнение $ \sin{x} = 0 $:

$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($ x \neq 2\pi n $).

Если $ k $ — четное число, т.е. $ k = 2n $, то $ x = 2\pi n $. Эти корни не входят в ОДЗ.

Если $ k $ — нечетное число, т.е. $ k = 2n + 1 $, то $ x = \pi(2n+1) = \pi + 2\pi n $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, из этого случая получаем серию решений $ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ 2\cos{x} - 1 = 0 $:

$ \cos{x} = \frac{1}{2} $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($ \cos{x} \neq 1 $). Так как $ \cos{x} = \frac{1}{2} $, то условие выполняется. Следовательно, обе серии корней являются решениями исходного уравнения.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

262. Сколько корней уравнения $\text{tg } 4x \cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]$?

Дано уравнение: $ \tg 4x \cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $ \tg 4x $ определена, если ее аргумент не является нечетным кратным $ \frac{\pi}{2} $, то есть $ \cos 4x \neq 0 $. Это условие можно записать как $ 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $.

Преобразуем исходное уравнение. Заменим $ \tg 4x $ на $ \frac{\sin 4x}{\cos 4x} $:
$ \frac{\sin 4x}{\cos 4x} \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin 3x $

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{\sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x}{\cos 4x} = \sqrt{2}\sin 3x $

В числителе левой части видим формулу синуса разности углов $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $. Применим ее:
$ \frac{\sin(4x-x)}{\cos 4x} = \sqrt{2}\sin 3x $
$ \frac{\sin 3x}{\cos 4x} = \sqrt{2}\sin 3x $

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель $ \sin 3x $:
$ \frac{\sin 3x}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0 $
$ \sin 3x \left( \frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $ \sin 3x = 0 $
2) $ \frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} = 0 $

Решим первое уравнение: $ \sin 3x = 0 $
$ 3x = \pi n $, где $ n \in Z $.
$ x = \frac{\pi n}{3} $.
Проверим, что эти корни удовлетворяют ОДЗ ($ \cos 4x \neq 0 $). Подставим $ x = \frac{\pi n}{3} $ в $ \cos 4x $: $ \cos\left(4 \cdot \frac{\pi n}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi n}{3}\right) $. Это выражение не равно нулю ни при каком целом $ n $.
Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] $.
$ -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi n}{3} \leq \frac{\pi}{4} $
Разделим неравенство на $ \frac{\pi}{3} $:
$ -1 \leq n \leq \frac{3}{4} $
Целые значения $ n $, удовлетворяющие этому неравенству: $ n = -1 $ и $ n = 0 $.
При $ n = -1 $ получаем корень $ x_1 = -\frac{\pi}{3} $.
При $ n = 0 $ получаем корень $ x_2 = 0 $.

Решим второе уравнение: $ \frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} = 0 $
$ \frac{1}{\cos 4x} = \sqrt{2} $, откуда $ \cos 4x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это значение не равно нулю, так что ОДЗ выполняется.
Решения этого уравнения:
$ 4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi m $, где $ m \in Z $.
$ x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} $.
Рассмотрим две серии корней и отберем те, что лежат в промежутке $ \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] $.
а) $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} $
$ -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} \leq \frac{\pi}{4} $
Разделим на $ \pi $: $ -\frac{1}{3} \leq \frac{1}{16} + \frac{m}{2} \leq \frac{1}{4} $
$ -\frac{1}{3} - \frac{1}{16} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{1}{4} - \frac{1}{16} $
$ -\frac{19}{48} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{3}{16} $
$ -\frac{19}{24} \leq m \leq \frac{3}{8} $
Единственное целое $ m $ в этом интервале — это $ m = 0 $.
При $ m = 0 $ получаем корень $ x_3 = \frac{\pi}{16} $.
б) $ x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} $
$ -\frac{\pi}{3} \leq -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} \leq \frac{\pi}{4} $
$ -\frac{1}{3} + \frac{1}{16} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{16} $
$ -\frac{13}{48} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{5}{16} $
$ -\frac{13}{24} \leq m \leq \frac{5}{8} $
Единственное целое $ m $ в этом интервале — это $ m = 0 $.
При $ m = 0 $ получаем корень $ x_4 = -\frac{\pi}{16} $.

В итоге мы получили четыре различных корня, принадлежащих промежутку $ \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] $: $ -\frac{\pi}{3} $, $ 0 $, $ \frac{\pi}{16} $ и $ -\frac{\pi}{16} $.

Ответ: 4