Номер 258, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. Решите уравнение:

1) $ \cos 4x - \sin 3x = 0; $

2) $ \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = -1; $

3) $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x; $

4) $ \sin x + \sin 7x = \sin 5x + \sin 3x. $

1) $ \cos 4x - \sin 3x = 0 $
Перепишем уравнение в виде $ \cos 4x = \sin 3x $.
Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \cos 4x = \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) $
Это равенство выполняется в двух случаях:
1. Аргументы косинусов равны с точностью до периода $ 2\pi n $:
$ 4x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ 7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7} $
2. Аргументы косинусов противоположны с точностью до периода $ 2\pi k $:
$ 4x = -(\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $
$ 4x = -\frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7}, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{\pi}{4} - x) = -1 $
Это уравнение вида $ a\sin y + b\cos y = c $. Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла.
$ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{2} $:
$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\pi}{4} - x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\pi}{4} - x) \right) = -1 $
Заменим $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \cos\frac{\pi}{4} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} $:
$ \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4} - x) - \sin\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{4} - x) \right) = -1 $
Применим формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sqrt{2} \sin\left((\frac{\pi}{4} - x) - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $
$ \sqrt{2} \sin(-x) = -1 $
$ -\sqrt{2} \sin x = -1 $
$ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Решения этого уравнения:
$ x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $
Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x $
Применим к левой части формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\sin\frac{2x+8x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = \sqrt{2} \cos 3x $
$ 2\sin 5x \cos 3x = \sqrt{2} \cos 3x $
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos 3x $ за скобки:
$ 2\sin 5x \cos 3x - \sqrt{2} \cos 3x = 0 $
$ \cos 3x (2\sin 5x - \sqrt{2}) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $ \cos 3x = 0 $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $
2. $ 2\sin 5x - \sqrt{2} = 0 $
$ \sin 5x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ 5x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $
$ x = (-1)^k \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, x = (-1)^k \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin x + \sin 7x = \sin 5x + \sin 3x $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к обеим частям уравнения.
Левая часть:
$ \sin 7x + \sin x = 2\sin\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 2\sin 4x \cos 3x $
Правая часть:
$ \sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin 4x \cos x $
Получаем уравнение:
$ 2\sin 4x \cos 3x = 2\sin 4x \cos x $
$ 2\sin 4x \cos 3x - 2\sin 4x \cos x = 0 $
Вынесем общий множитель $ 2\sin 4x $ за скобки:
$ 2\sin 4x (\cos 3x - \cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \sin 4x = 0 $
$ 4x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi n}{4} $
2. $ \cos 3x - \cos x = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0 $
$ -2\sin 2x \sin x = 0 $
Отсюда $ \sin 2x = 0 $ или $ \sin x = 0 $.
Если $ \sin x = 0 $, то $ x = \pi k $. Эти решения входят в серию $ x = \frac{\pi n}{4} $ (при $ n=4k $).
Если $ \sin 2x = 0 $, то $ 2x = \pi m $, откуда $ x = \frac{\pi m}{2} $. Эти решения также входят в серию $ x = \frac{\pi n}{4} $ (при $ n=2m $).
Таким образом, все найденные решения описываются одной формулой.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.