Номер 252, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Решите уравнение:

1) $7\sin^2 \frac{x}{3} - 4\sin \frac{2x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 0;$

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7;$

3) $5\sin^2 3x + 2\sin 6x = 5;$

4) $\frac{2\sin x - \cos x}{\cos x + 3\sin x} = \frac{1}{4};$

5) $1 + \sin 2x - \cos 2x = 0;$

6) $2\sin 3x + 5\cos 3x = 2.$

1) $7\sin^2 \frac{x}{3} - 4\sin \frac{2x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для члена $\sin \frac{2x}{3}$, где $\alpha = \frac{x}{3}$.

$\sin \frac{2x}{3} = 2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$7\sin^2 \frac{x}{3} - 4\left(2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\right) + \cos^2 \frac{x}{3} = 0$

$7\sin^2 \frac{x}{3} - 8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos\frac{x}{3}=0$ решением. Если $\cos\frac{x}{3}=0$, то $\sin^2\frac{x}{3}=1$. Уравнение принимает вид $7 \cdot 1 - 0 + 0 = 0$, то есть $7=0$, что неверно. Следовательно, $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{3}$.

$7\frac{\sin^2 \frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}} - 8\frac{\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}} + \frac{\cos^2 \frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}} = 0$

$7\tan^2 \frac{x}{3} - 8\tan\frac{x}{3} + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{3}$.

$7t^2 - 8t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $7 - 8 + 1 = 0$, то один из корней равен 1. $t_1 = 1$. Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{1}{7}$, откуда $t_2 = \frac{1}{7}$.

Возвращаемся к замене:

а) $\tan\frac{x}{3} = 1 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan\frac{x}{3} = \frac{1}{7} \implies \frac{x}{3} = \arctan\frac{1}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = 3\arctan\frac{1}{7} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = 3\arctan\frac{1}{7} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$ и основное тригонометрическое тождество, представив $7$ как $7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$.

$8\sin^2 2x + 3(2\sin 2x \cos 2x) = 7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$

$8\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x = 7\sin^2 2x + 7\cos^2 2x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x - 7\cos^2 2x = 0$

Это однородное уравнение. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$, и уравнение становится $1=0$, что неверно. Значит, $\cos 2x \neq 0$, и можно разделить уравнение на $\cos^2 2x$.

$\tan^2 2x + 6\tan 2x - 7 = 0$

Пусть $t = \tan 2x$. Получаем квадратное уравнение $t^2 + 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Возвращаемся к замене:

а) $\tan 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 2x = -7 \implies 2x = \arctan(-7) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{1}{2}\arctan 7 + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{1}{2}\arctan 7 + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $5\sin^2 3x + 2\sin 6x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$ и основное тригонометрическое тождество $5 = 5(\sin^2 3x + \cos^2 3x)$.

$5\sin^2 3x + 2(2\sin 3x \cos 3x) = 5(\sin^2 3x + \cos^2 3x)$

$5\sin^2 3x + 4\sin 3x \cos 3x = 5\sin^2 3x + 5\cos^2 3x$

$4\sin 3x \cos 3x - 5\cos^2 3x = 0$

Вынесем $\cos 3x$ за скобки:

$\cos 3x (4\sin 3x - 5\cos 3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin 3x - 5\cos 3x = 0 \implies 4\sin 3x = 5\cos 3x$. Разделив на $\cos 3x$ (который не может быть равен нулю в этом случае), получаем $4\tan 3x = 5 \implies \tan 3x = \frac{5}{4}$.

$3x = \arctan\frac{5}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{1}{3}\arctan\frac{5}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{3}\arctan\frac{5}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{2\sin x - \cos x}{\cos x + 3\sin x} = \frac{1}{4}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x + 3\sin x \neq 0$.

Используем основное свойство пропорции (умножение крест-накрест):

$4(2\sin x - \cos x) = 1(\cos x + 3\sin x)$

$8\sin x - 4\cos x = \cos x + 3\sin x$

$8\sin x - 3\sin x = \cos x + 4\cos x$

$5\sin x = 5\cos x$

$\sin x = \cos x$

Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$, и можно разделить обе части на $\cos x$.

$\tan x = 1$

Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как если $\tan x = 1$, то $\cos x + 3\sin x = \cos x + 3\cos x = 4\cos x \neq 0$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $1 + \sin 2x - \cos 2x = 0$

Сгруппируем члены и используем формулы двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

$(1 - \cos 2x) + \sin 2x = 0$

$2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 0$

Вынесем $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x$. Разделив на $\cos x \neq 0$, получаем $\tan x = -1$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) $2\sin 3x + 5\cos 3x = 2$

Применим метод универсальной тригонометрической подстановки. Пусть $t = \tan\frac{3x}{2}$. Тогда $\sin 3x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 3x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Этот метод требует отдельной проверки случая, когда подстановка не определена, то есть $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, что эквивалентно $3x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\cos 3x = -1$ и $\sin 3x = 0$. Уравнение принимает вид $2(0) + 5(-1) = 2$, или $-5=2$, что неверно. Значит, эти значения $x$ не являются решениями.

Подставим выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 2$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2 \neq 0$:

$4t + 5(1-t^2) = 2(1+t^2)$

$4t + 5 - 5t^2 = 2 + 2t^2$

$7t^2 - 4t - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

$t_1 = \frac{4 - 10}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

$t_2 = \frac{4 + 10}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Возвращаемся к замене:

а) $\tan\frac{3x}{2} = 1 \implies \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan\frac{3x}{2} = -\frac{3}{7} \implies \frac{3x}{2} = -\arctan\frac{3}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{2}{3}\arctan\frac{3}{7} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{2}{3}\arctan\frac{3}{7} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.