Номер 246, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\arccos x - \frac{\pi}{6}$;

2) $y = 3 - 4 \text{arctg } 4x.$

1) $y = 2\arccos x - \frac{\pi}{6}$

Чтобы найти область значений функции, мы исходим из области значений основной функции $\arccos x$.
Область значений арккосинуса: $E(\arccos x) = [0, \pi]$.
Это означает, что для любого $x$ из области определения (то есть $x \in [-1, 1]$) выполняется двойное неравенство: $0 \le \arccos x \le \pi$.
Теперь последовательно применим к этому неравенству преобразования, которые задают нашу функцию.
1. Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знаки неравенства не меняются:
$2 \cdot 0 \le 2\arccos x \le 2 \cdot \pi$
$0 \le 2\arccos x \le 2\pi$
2. Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$0 - \frac{\pi}{6} \le 2\arccos x - \frac{\pi}{6} \le 2\pi - \frac{\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{11\pi}{6}$
Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.
Ответ: $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.

2) $y = 3 - 4 \operatorname{arctg} 4x$

Найдем область значений, начав с области значений основной функции $\operatorname{arctg} u$, где $u = 4x$.
Область значений арктангенса: $E(\operatorname{arctg} u) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Поскольку аргумент $4x$ может принимать любые действительные значения (так как область определения $x$ — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$), для $\operatorname{arctg} 4x$ выполняется строгое двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} 4x < \frac{\pi}{2}$.
Применим к этому неравенству заданные преобразования.
1. Умножим все части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -4\operatorname{arctg} 4x > -4 \cdot \frac{\pi}{2}$
$2\pi > -4\operatorname{arctg} 4x > -2\pi$
Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2\pi < -4\operatorname{arctg} 4x < 2\pi$
2. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 2\pi < 3 - 4\operatorname{arctg} 4x < 3 + 2\pi$
$3 - 2\pi < y < 3 + 2\pi$
Следовательно, область значений данной функции — это интервал $(3 - 2\pi, 3 + 2\pi)$.
Ответ: $E(y) = (3 - 2\pi, 3 + 2\pi)$.