Номер 250, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 \frac{x}{3} + 5\sin \frac{x}{3} + 1 = 0;$

2) $5\cos 14x + \cos 7x - 4 = 0;$

3) $2\cos^2 10x - 6\cos^2 5x + 1 = 0;$

4) $2\operatorname{tg} \frac{3x}{5} - 5\operatorname{ctg} \frac{3x}{5} = 3;$

5) $\operatorname{ctg}^4 2x + 3\operatorname{ctg}^2 2x - 4 = 0;$

6) $\frac{1}{\cos^2 4x} - 6\operatorname{tg} 4x + 7 = 0;$

7) $3\operatorname{ctg}^2 6x - \frac{4}{\sin 6x} + 4 = 0;$

8) $4\cos^2 5x + 3\operatorname{tg}^2 5x - 5 = 0.$

1) $2\cos^2\frac{x}{3} + 5\sin\frac{x}{3} + 1 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы привести уравнение к одной функции.
$2(1 - \sin^2\frac{x}{3}) + 5\sin\frac{x}{3} + 1 = 0$
$2 - 2\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin\frac{x}{3} + 1 = 0$
$2\sin^2\frac{x}{3} - 5\sin\frac{x}{3} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin\frac{x}{3}$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Корень $t_2 = 3$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$
$\frac{x}{3} = (-1)^{n} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^{n} (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = 3((-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n) = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $5\cos 14x + \cos 7x - 4 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. В нашем случае $\cos 14x = 2\cos^2 7x - 1$.
$5(2\cos^2 7x - 1) + \cos 7x - 4 = 0$
$10\cos^2 7x - 5 + \cos 7x - 4 = 0$
$10\cos^2 7x + \cos 7x - 9 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \cos 7x$, где $-1 \le t \le 1$.
$10t^2 + t - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.
$t_1 = \frac{-1 - 19}{20} = \frac{-20}{20} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 19}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

Оба корня удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$. Возвращаемся к замене:
1) $\cos 7x = -1$
$7x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi m}{7} = \frac{\pi(1+2m)}{7}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos 7x = \frac{9}{10}$
$7x = \pm \arccos\frac{9}{10} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{1}{7} \arccos\frac{9}{10} + \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi(1+2m)}{7}, m \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{7} \arccos\frac{9}{10} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\cos^2 10x - 6\cos^2 5x + 1 = 0$

Используем формулу $\cos 10x = 2\cos^2 5x - 1$.
$2(2\cos^2 5x - 1)^2 - 6\cos^2 5x + 1 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \cos^2 5x$, где $0 \le t \le 1$.
$2(2t - 1)^2 - 6t + 1 = 0$
$2(4t^2 - 4t + 1) - 6t + 1 = 0$
$8t^2 - 8t + 2 - 6t + 1 = 0$
$8t^2 - 14t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 196 - 96 = 100 = 10^2$.
$t_1 = \frac{14 - 10}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{14 + 10}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

Корень $t_2 = 3/2$ не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos^2 5x = \frac{1}{4}$
$\cos 5x = \pm \frac{1}{2}$

Это можно объединить в одну серию решений:
$5x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $2\tg\frac{3x}{5} - 5\ctg\frac{3x}{5} = 3$

Используем тождество $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$. ОДЗ: $\frac{3x}{5} \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
$2\tg\frac{3x}{5} - \frac{5}{\tg\frac{3x}{5}} - 3 = 0$

Пусть $t = \tg\frac{3x}{5}$, $t \ne 0$.
$2t - \frac{5}{t} - 3 = 0$
Умножим на $t$:
$2t^2 - 5 - 3t = 0$
$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1$
$t_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Возвращаемся к замене:
1) $\tg\frac{3x}{5} = -1$
$\frac{3x}{5} = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{5}{3}(-\frac{\pi}{4} + \pi m) = -\frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg\frac{3x}{5} = \frac{5}{2}$
$\frac{3x}{5} = \arctan\frac{5}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{5}{3}(\arctan\frac{5}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{5}{3}\arctan\frac{5}{2} + \frac{5\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

5) $\ctg^4 2x + 3\ctg^2 2x - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\ctg 2x$. Сделаем замену $t = \ctg^2 2x$, где $t \ge 0$.
$t^2 + 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к замене:
$\ctg^2 2x = 1$
$\ctg 2x = \pm 1$

Решения можно объединить:
$2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\frac{1}{\cos^2 4x} - 6\tg 4x + 7 = 0$

Используем тождество $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tg^2\alpha$. ОДЗ: $\cos 4x \ne 0$.
$(1 + \tg^2 4x) - 6\tg 4x + 7 = 0$
$\tg^2 4x - 6\tg 4x + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \tg 4x$.
$t^2 - 6t + 8 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Возвращаемся к замене:
1) $\tg 4x = 2$
$4x = \arctan 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{1}{4}\arctan 2 + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg 4x = 4$
$4x = \arctan 4 + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{1}{4}\arctan 4 + \frac{\pi m}{4}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\arctan 2 + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{4}\arctan 4 + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z}$.

7) $3\ctg^2 6x - \frac{4}{\sin 6x} + 4 = 0$

Используем тождество $\ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1 - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$. ОДЗ: $\sin 6x \ne 0$.
$3\frac{1 - \sin^2 6x}{\sin^2 6x} - \frac{4}{\sin 6x} + 4 = 0$

Сделаем замену $t = \sin 6x$, где $-1 \le t \le 1$ и $t \ne 0$.
$3\frac{1-t^2}{t^2} - \frac{4}{t} + 4 = 0$
Умножим уравнение на $t^2$:
$3(1-t^2) - 4t + 4t^2 = 0$
$3 - 3t^2 - 4t + 4t^2 = 0$
$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Корень $t_2 = 3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\sin 6x = 1$
$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
(Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin 6x = 1 \ne 0$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

8) $4\cos^2 5x + 3\tg^2 5x - 5 = 0$

Используем тождество $\tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$. ОДЗ: $\cos 5x \ne 0$.
$4\cos^2 5x + 3\frac{1 - \cos^2 5x}{\cos^2 5x} - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \cos^2 5x$, где $0 < t \le 1$.
$4t + \frac{3(1-t)}{t} - 5 = 0$
Умножим уравнение на $t$:
$4t^2 + 3(1-t) - 5t = 0$
$4t^2 + 3 - 3t - 5t = 0$
$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.
$t_1 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Корень $t_2 = 3/2$ не удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos^2 5x = \frac{1}{2}$
$\cos 5x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это соответствует углам, которые являются нечетными кратными $\frac{\pi}{4}$.
$5x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
(Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos^2 5x = 1/2 \ne 0$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}, n \in \mathbb{Z}$.